Serie de Dirichlet

Una serie de Dirichlet[1][2] es toda serie del tipo

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}z}}$

donde ${\displaystyle (a_{n})_{n}}$ es una sucesión de números complejos, ${\displaystyle z}$ es un número complejo y ${\displaystyle (\lambda _{n})_{n}}$ es una sucesión real, creciente y divergente. Algunos autores exigen que la sucesión ${\displaystyle (\lambda _{n})_{n}}$ sea además de términos positivos. Dicha exigencia se cumple en nuestra definición excepto para una cantidad finita de términos.

Cuando ${\displaystyle \lambda _{n}=\log(n)}$ se obtiene la serie ordinaria de Dirichlet:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},}$

La serie de Dirichlet más famosa es

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}$

que es la función zeta de Riemann. Otra serie de Dirichlet es:

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

donde μ(n) es la función de Möbius. Es posible obtener esta y varias de las series indicadas a continuación realizando una inversión de Möbius y una convolución de Dirichlet a series conocidas. Por ejemplo, dado un carácter de Dirichlet ${\displaystyle \chi (n)}$ se tiene que

${\displaystyle {\frac {1}{L(\chi ,s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n^{s}}}}$

donde ${\displaystyle L(\chi ,s)}$ es una función L de Dirichlet.

Otras identidades incluyen

${\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}}$

donde φ(n) es la función indicatriz de Euler

${\displaystyle \zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}}$

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}}$

donde σ_a(n) es la función divisor. Otras identidades que involucran a la función divisor d=σ₀ son

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n^{2})}{n^{s}}}}$

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}}$

El logaritmo de la función zeta está dado por

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}}}$

para ${\displaystyle \Re (s)>1}$. Aquí, ${\displaystyle \Lambda (n)}$ es la función de von Mangoldt. La derivada logarítmica es por lo tanto

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}}$

Estos últimos dos son casos especiales de una relación más generalizada para las derivadas de la serie de Dirichlet, indicadas a continuación.

Dada la función de Liouville ${\displaystyle \lambda (n)}$, se tiene que

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}}$

Otro ejemplo, en cambio se relaciona con la suma de Ramanujan:

${\displaystyle {\frac {\sigma _{1-s}(m)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}(m)}{n^{s}}}}$

Dado

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

para una función completamente multiplicativa ${\displaystyle f(n)}$, y asumiendo que la serie converge para ${\displaystyle \Re (s)>\sigma _{0}}$, entonces se tiene que

${\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}}$

converge para ${\displaystyle \Re (s)>\sigma _{0}}$. Siendo, ${\displaystyle \Lambda (n)}$ la función de von Mangoldt.

Sea ${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}}$ y

${\displaystyle G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }g(n)n^{-s}}$

Si tanto F(s) y G(s) son absolutamente convergentes para s> a y s > b entonces se tiene que:

${\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}dtF(a+it)G(b-it)dt=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)g(n)n^{-a-b}}$ dado que ${\displaystyle T\sim \infty }$

para a=b y f(n)=g(n) se obtiene:

${\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}dt|F(a+it)|^{2}dt=\sum _{n=1}^{\infty }[f(n)]^{2}n^{-2a}}$ as ${\displaystyle T\sim \infty }$

La Transformada de Mellin de una Serie de Dirichlet está dada por la fórmula de Perron.

• Regularización de la función zeta

• Tom Apostol, Introduction to analytic number theory, Springer-Verlag, New York, 1976.
• G. H. Hardy, and Marcel Riesz, The general theory of Dirichlet's series, Cambridge Tracts in Mathematics, No. 18 (Cambridge University Press, 1915).
• The general theory of Dirichlet's series by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Reprinted by} Cornell University Library Digital Collections

• Dirichlet series en PlanetMath.