Fórmula de Perron

Sea ${\displaystyle \{a(n)\}}$ una función aritmética, y sea

${\displaystyle g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}$

su correspondiente serie de Dirichlet. Presuma la serie de Dirichlet de ser absolutamente convergente para ${\displaystyle \Re (s)>\sigma _{a}}$. Entonces la fórmula de Perron es

${\displaystyle A(x)={\sum _{n\leq x}}^{\star }a(n)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }g(z){\frac {x^{z}}{z}}dz.\;}$

Aquí, la estrella sobre el sumatorio indica que el último término de la suma debe ser multiplicado por 1/2 cuando x sea un entero. La fórmula requiere que ${\displaystyle c>\sigma _{a}}$ y ${\displaystyle x>0}$ real, pero de otra manera arbitraria.

Un sencillo esbozo de demostración proviene de tomar la fórmula de sumación de Abel

${\displaystyle g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=s\int _{0}^{\infty }A(x)x^{-(s+1)}dx.}$

Esto no es sino una transformada de Laplace bajo el cambio de variable ${\displaystyle x=e^{t}.}$ Invirtiéndolo se obtiene la fórmula de Perron.

Debido a su relación general con series de Dirichlet, la fórmula es aplicada comúnmente a varias sumas relacionadas con la teoría de números. Así, por ejemplo, se obtiene la famosa representación integral para la función zeta de Riemann:

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s+1}}}\,dx}$

y una fórmula similar para las funciones L de Dirichlet:

${\displaystyle L(s,\chi )=s\int _{1}^{\infty }{\frac {A(x)}{x^{s+1}}}\,dx}$

donde

${\displaystyle A(x)=\sum _{n\leq x}\chi (n)}$

y ${\displaystyle \chi (n)}$ es un carácter de Dirichlet. Otros ejemplos aparecen en los artículos de la función de Mertens y la función de von Mangoldt.

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, pp. 243, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929.
• Weisstein, Eric W. «Perron's formula». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Tenebaum, Gérald (1995). Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0521412617.