Símplex

El 2-simplejo estándar en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ es un triángulo en el espacio

El n-símplex estándar es el subconjunto de Rⁿ⁺¹ dado por:

${\displaystyle \Delta ^{n}=\{(t_{0},\cdots ,t_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid \Sigma _{i}{t_{i}}=1{\mbox{ y }}t_{i}\geq 0{\mbox{ para todo }}i\}}$

Quitando la restricción t_i ≥ 0 en la condición anterior da una n-dimensional subespacio afín de Rⁿ⁺¹ conteniendo el n-símplex estándar. Las coordenadas t_i se llaman coordenadas baricéntricas. Los vértices del n-símplex estándar son los puntos:

e₀ = (1, 0, 0, …, 0),

e₁ = (0, 1, 0, …, 0),

${\displaystyle \vdots }$

e_n = (0, 0, 0, …, 1).

Ese es un mapa canónico desde el n-símplex estándar para un n-símplex arbitrario con vértices (v₀, …, v_n) dado para

${\displaystyle (t_{0},\cdots ,t_{n})\mapsto \Sigma _{i}t_{i}v_{i}}$

Los coeficientes t_i se llaman coordenadas baricéntricas de un punto en el n-símplex. Este símplex general a menudo se llama n-símplex afín, para enfatizar el mapa canónico es una transformación afín. A veces también se llama n-símplex afín orientado para enfatizar que el mapa canónico puede ser de orientación preservada o revertido.

Si se tiene un n-símplex con vértices n+1 vértices ${\displaystyle \scriptstyle \{(x_{1}^{(i)},\dots ,x_{n}^{(i)}),1\leq i\leq n+1\}}$ el n-volumen se calcula mediante la fórmula de Lagrange:

${\displaystyle V={\frac {1}{n!}}{\begin{vmatrix}x_{1}^{(1)}&x_{2}^{(1)}&\dots &x_{n}^{(1)}&1\\x_{1}^{(2)}&x_{2}^{(2)}&\dots &x_{n}^{(2)}&1\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\x_{1}^{(n+1)}&x_{2}^{(n+1)}&\dots &x_{n}^{(n+1)}&1\end{vmatrix}}}$

• Politopo
• Algoritmo símplex
• Método Nelder-Mead
• Conjetura de Hirsch