Espacio afín

El espacio afín puede definirse de varios modos equivalentes.

Dado un conjunto no vacío ${\displaystyle E}$ diremos que es un espacio afín asociado a un espacio vectorial ${\displaystyle V}$ si se tiene la siguiente aplicación:[lower-alpha 1]

Visualización del orden de los puntos para ${\displaystyle \varphi }$ o como origen y destino de una traslación.

tal que se cumplan:

1) Fijado un punto a la aplicación ${\displaystyle \varphi _{a}}$ es biyectiva, es decir:

${\displaystyle \forall a\in E,\mathbf {v} \in V,\;\exists$ !\ b\in E:\varphi (a,b)=\mathbf {v} .}

2) Se tiene la relación de Chasles, es decir:

${\displaystyle \forall \ a,b,c\in E\qquad \varphi (a,b)+\varphi (b,c)=\varphi (a,c)\,}$

Los elementos de ${\displaystyle E}$ se llaman puntos.[lower-alpha 2]

Se designa al vector ${\displaystyle \varphi (a,b)\,}$ por la notación ${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}}$, así la propiedad 2 se escribe como:

${\displaystyle \forall a,b,c\in E\;\;{\overrightarrow {ab}}+{\overrightarrow {bc}}={\overrightarrow {ac}}}$

La dimensión de un espacio afín es la dimensión del espacio vectorial asociado.

Observación:

La aplicación ${\displaystyle \varphi }$ asocia dos puntos a un único vector, por lo que se dice que el primer punto es el origen y el segundo el extremo.

De la definición del espacio afín resultan las siguientes propiedades:

Dados ${\displaystyle a,b,c,d\,}$ y ${\displaystyle a_{1},...,a_{n}\,}$ puntos cualesquiera en un espacio afín ${\displaystyle E\,}$.

Tenemos:

${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}={\vec {0}}\quad \Leftrightarrow a=b\,}$

${\displaystyle {\overrightarrow {aa}}+{\overrightarrow {aa}}={\overrightarrow {aa}}\Rightarrow }$ ${\displaystyle {\overrightarrow {aa}}={\vec {0}}}$. ${\displaystyle \Rightarrow )\,Si\,{\overrightarrow {ab}}={\vec {0}}\,y\,{\overrightarrow {aa}}={\vec {0}},}$ entonces como ${\displaystyle \varphi _{a}}$ es biyectiva, se tiene que ${\displaystyle a=b}$. ${\displaystyle \Leftarrow )\,Si\,a=b\Rightarrow }$ ${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}={\overrightarrow {aa}}={\vec {0}}\,}$.

${\displaystyle {\overrightarrow {ba}}=-{\overrightarrow {ab}}\,}$

${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}+{\overrightarrow {ba}}={\overrightarrow {aa}}={\vec {0}}\Rightarrow }$ ${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}=-{\overrightarrow {ba}}}$

${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}={\overrightarrow {cd}}\quad \Leftrightarrow {\overrightarrow {ac}}={\overrightarrow {bd}}\,}$ (regla del paralelogramo).

Directo a partir de ${\displaystyle {\overrightarrow {ac}}+{\overrightarrow {cd}}={\overrightarrow {ad}}={\overrightarrow {ab}}+{\overrightarrow {bd}}.}$

${\displaystyle {\overrightarrow {a_{1}a_{n}}}=\sum _{i=1}^{n-1}\quad {\overrightarrow {a_{i}a_{i+1}}}}$ (relación de Chasles generalizada)

Inductivamente se aplica que ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\quad {\overrightarrow {a_{i}a_{i+1}}}=\sum _{i=1}^{n-2}\quad {\overrightarrow {a_{i}a_{i+1}}}+\quad {\overrightarrow {a_{n-1}a_{n}}}.}$

Dado un espacio afín ${\displaystyle E\,}$ sobre ${\displaystyle V\,}$ mediante ${\displaystyle \varphi \,}$ y un vector ${\displaystyle u\in V}$, una traslación de vector ${\displaystyle u\,}$ en ${\displaystyle E\,}$ es una aplicación dada por:

${\displaystyle {\begin{matrix}T_{u}:&E&\longrightarrow {}&E\\&a&\longmapsto &b&:\varphi (a,b)=u\end{matrix}}}$

Observaciones:

Se puede escribir como ${\displaystyle T_{u}(a):=\varphi _{a}^{-1}(u)}$ que está bien definida por ser ${\displaystyle \varphi _{a}}$ biyectiva.

Propiedades

Dados los vectores ${\displaystyle u,v\in V}$ se tiene:

${\displaystyle T_{u}\circ T_{v}=T_{u+v}.}$

${\displaystyle T_{u}(a)=b\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle u=\varphi (a,b)}$ ${\displaystyle T_{v}(b)=c\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle v=\varphi (b,c)}$ ${\displaystyle T_{v}\circ T_{u}(a)=T_{v}(b)=c}$ ${\displaystyle \varphi (a,c)=\varphi (a,b)+\varphi (b,c)=u+v}$ ${\displaystyle \Rightarrow T_{u}\circ T_{v}=T_{u+v}.}$

${\displaystyle \forall a,b\in E,\;\exists !u\in V:\;T_{u}(a)=b}$

${\displaystyle u:=\varphi (a,b)}$ y por tanto única por ser ${\displaystyle \varphi }$ una aplicación.

Un espacio afín ${\displaystyle E\,}$ sobre ${\displaystyle V\,}$ queda univocamente determinado por el conjunto:[1]

${\displaystyle {\mathcal {T}}=\{T_{u}:E\to E}$ es aplicación ${\displaystyle \forall u\in V\}}$

si cumple:

a) ${\displaystyle T_{v}\circ T_{u}=T_{v+u}}$

b) ${\displaystyle \forall a,b\in E,\;\exists !u\in V:\;T_{u}(a)=b.}$

Demostración

Sea ${\displaystyle \varphi }$ la aplicación dada por b): ${\displaystyle \varphi (a,b):=u}$ ${\displaystyle \varphi (a,b)+\varphi (b,c)=\varphi (a,c)}$ ya que: ${\displaystyle T_{u}(a)=b\Leftrightarrow \varphi (a,b)=u}$, ${\displaystyle T_{v}(b)=c\Leftrightarrow \varphi (b,c)=v}$ además ${\displaystyle T_{v}\circ T_{u}(a)=T_{v+u}(a)=c\Rightarrow \varphi (a,c)=v+u.}$ ${\displaystyle \varphi _{a}}$ es biyectiva, es decir, ${\displaystyle \forall a\in E,}$ ${\displaystyle \forall u\in V,}$ ${\displaystyle \exists !b\in E:}$ ${\displaystyle \varphi _{a}(b)=u,}$ por definición equivale a tomar ${\displaystyle b:=T_{u}(a),}$ es única por ser ${\displaystyle T_{v}}$ una aplicación.

Observación:

${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ es el conjunto de todas las traslaciones ya que ${\displaystyle \exists !b:\varphi _{a}^{-1}(u)=b=T_{u}(a).}$

Un espacio afín ${\displaystyle E\,}$ se designa por la terna ${\displaystyle (E,V,\varphi )}$ o ${\displaystyle (E,V,T)}$ según la primera o segunda definición respectivamente.

Propiedades

${\displaystyle T_{0}=Id.}$

${\displaystyle \forall u\in V\;\;T_{\vec {0}}\circ T_{u}=T_{{\vec {0}}+u}=T_{u}\Rightarrow }$ ${\displaystyle T_{\vec {0}}=Id.}$

${\displaystyle T_{u}}$ es biyectiva y ${\displaystyle T_{u}^{-1}=T_{-u}.}$

${\displaystyle T_{u}\circ T_{-u}=T_{u-u}=T_{\vec {0}}=Id\Rightarrow }$ ${\displaystyle T_{-u}=T_{u}^{-1}.}$

Si ${\displaystyle T_{v'}\circ T_{u}=T_{u'}\circ T_{v}}$ entonces ${\displaystyle T_{u}=T_{u'}\Leftrightarrow T_{v}=T_{v'}.}$

Es directo, aplicando el resultado sobre la hipótesis.

Si ${\displaystyle \exists a\in E:T_{u}(a)=T_{v}(a)\Rightarrow u=v}$

Por la propiedad b) ${\displaystyle T_{u}(a)=b=T_{v}(a)\Rightarrow u=v.}$

Ejemplos:

Los espacios vectoriales ${\displaystyle V\,}$ son espacios afines sobre sí mismos.[2]

Demostración

Como mera distinción se nota ${\displaystyle {\vec {V}}}$ como espacio vectorial y ${\displaystyle V}$ para el mismo pero como espacio afín, se define una aplicación ${\displaystyle \varphi }$ como: ${\displaystyle {\begin{matrix}\varphi$ :&V\times V&\longrightarrow {}&{\vec {V}}\\&(u,v)&\longmapsto &{\vec {w}}&=v-u\end{matrix}}} Esta aplicación cumple las dos condiciones: 1) ${\displaystyle \varphi _{u}}$ es biyectiva ya que ${\displaystyle \varphi _{u}^{-1}({\vec {w}})=w+u.}$ 2) ${\displaystyle \varphi (u,v)+\varphi (v,w)=(v-u)+(w-v)}$ ${\displaystyle =w-u}$ ${\displaystyle =\varphi (u,w)}$ Por tanto es un espacio afín. Traslación de vector 0 en el punto 0. Traslación de vector u y -u. Traslación de un vector u a v.

Dados dos espacios afínes ${\displaystyle (E,V,T)}$ y ${\displaystyle (E',V',T')}$, entonces también es un espacio afín la terna:[3]

${\displaystyle (E\times E',V\times V',T\times T')}$ donde ${\displaystyle {\begin{matrix}T\times T'_{(u,v)}:&E\times E'&\longrightarrow {}&E\times E'\\&(a,b)&\longmapsto &(T_{u}(a),T'_{v}(b))\end{matrix}}.}$

Notación

Se usa como notación algebraica de ${\displaystyle u={\vec {ab}}}$:[4]

• ${\displaystyle u=b-a,}$

• ${\displaystyle b=u+a,}$

• ${\displaystyle a=b-u.}$

Consistencia de la notación

En un espacio afín hay una correspondencia entre 3 conjuntos,${\displaystyle E,E}$ y ${\displaystyle V\,}$, más aún, dados dos elementos cualesquiera de 2 de los conjuntos respectivamente, se tiene que un tercer elemento del tercer conjunto queda determinado de forma única. Algebraicamente se distinguen cada uno de estos elementos: ${\displaystyle u}$ como vector, ${\displaystyle b}$ como punto extremo de ${\displaystyle u}$ y ${\displaystyle a}$ como punto origen de ${\displaystyle u}$, también: ${\displaystyle u=\varphi (a,b)=b-a}$ es consecuencia de que ${\displaystyle \varphi }$ es una aplicación, es decir, ${\displaystyle \forall a,b\in E,\exists !u\in V:\varphi (a,b)=u,}$ ${\displaystyle b=\varphi _{a}^{-1}(u)=u+a}$ es consecuencia de que ${\displaystyle \varphi _{a}}$ es biyectiva, es decir, ${\displaystyle \forall a\in E,u\in V,\exists !b\in E:\varphi (a,b)=u}$ ${\displaystyle a=\varphi _{b}^{-1}(-u)=-u+b}$ igual que antes, ${\displaystyle \forall b\in E,u\in V,\exists !a\in E:\varphi (b,a)=-\varphi (a,b)=-u,}$ lo cual justifica la notación. Dicha notación resiste el uso de producto de elementos del cuerpo ${\displaystyle K\,}$ por vectores: ${\displaystyle \forall \lambda \in K,\lambda u=\lambda {\vec {ab}}=\lambda b-\lambda a,}$ de uso puramente cuantitativo, se tiene que:[5] Una expresión es un vector si hay tantos puntos de origen como de extremo, es decir: ${\displaystyle \forall a,b\in E,\forall \alpha ,\beta \in K}$ ${\displaystyle \alpha a+\beta b}$ es un vectore si ${\displaystyle \alpha +\beta =0.}$ Una expresión es un punto si hay un punto de extremo de más, es decir: ${\displaystyle \forall a,b\in E,\forall \alpha ,\beta \in K}$ ${\displaystyle \alpha a+\beta b}$ es un punto si ${\displaystyle \alpha +\beta =1.}$ No queda definido un sentido para el resto de casos.

• Con esta notación las propiedades anteriores son inmediatas.

Un subespacio afín es un subconjunto de un espacio afín que es a su vez un espacio afín.

Dado ${\displaystyle E\,}$ un espacio afín sobre ${\displaystyle V\,}$ mediante ${\displaystyle \varphi }$ y ${\displaystyle U\subset V}$ un subespacio vectorial. Se espera que ${\displaystyle F\,}$ sea un espacio afín sobre ${\displaystyle U\,}$ con ${\displaystyle \varphi _{\vert F\times F}}$ por tanto está bien definida, además ha de cumplir las dos condiciones de espacio afín:

2) ${\displaystyle \varphi (a,b)+\varphi (b,c)}$ ${\displaystyle =\varphi (a,c)}$ es heredado del espacio afín ${\displaystyle E\,}$

1) ${\displaystyle \varphi _{a}}$ es biyectiva, es decir:

${\displaystyle {\begin{matrix}\varphi _{a}:&F&\longrightarrow {}&U\\&b&\longmapsto &b-a&=v\\b=&v+a&\longleftarrow &v\end{matrix}}}$

de donde se deduce que ${\displaystyle F-a\subset U}$ y ${\displaystyle U+a\subset F}$ por tanto solo se ha de verificar que ${\displaystyle F=a+U}$ para cualquier ${\displaystyle a\in F}$, es decir, ${\displaystyle F\,}$ ha de ser una variedad lineal que se formaliza a continuación.[6]

Dado un espacio afín ${\displaystyle E\,}$ sobre ${\displaystyle V\,}$, ${\displaystyle a\in E}$ y ${\displaystyle U\subset V}$ un subespacio vectorial. Llamaremos variedad lineal por ${\displaystyle a\,}$ y dirección ${\displaystyle U\,}$ al conjunto ${\displaystyle F\subset E}$ tal que:

${\displaystyle F:=\{b\in E:b-a\in U\}}$ ${\displaystyle =\{b\in E:b=u+a,u\in U\}}$ ${\displaystyle =\{a+u:u\in U\}}$ ${\displaystyle =a+U.}$

Dados ${\displaystyle u,v\in E}$ diremos que pertenecen a un mismo espacio ${\displaystyle F\,}$ de dirección ${\displaystyle U\,}$ si ${\displaystyle u-v\in U}$.

La relación anterior es una relación de equivalencia

Se considera la relación ${\displaystyle x{\mathcal {R}}y:=\langle x-y\in U\rangle }$ y se comprueban: Propiedad reflexiva: Dado un elemento ${\displaystyle x\in F}$ se tiene que ${\displaystyle x-x={\vec {0}}\in U.}$ Propiedad de simetría: Dados dos elementos ${\displaystyle x,y\in F}$ se tiene que si ${\displaystyle x-y=v\in U}$ entonces ${\displaystyle -v\in U}$ es decir ${\displaystyle y-x\in U.}$ Propiedad transitiva: Dados tres elementos ${\displaystyle x,y,z\in F}$ se tiene que si ${\displaystyle x-y\in U}$ y ${\displaystyle y-z\in U}$ entonces ${\displaystyle U\ni (x-y)+(y-z)=x-z}$ es decir ${\displaystyle x-z\in U.}$

• Transformación afín

• Antonio Pardo Fraile, Juan-Angel Díaz Hernando, Elementos de álgebra lineal y geometría(tomo II), Madrid, 1966.

• Manuel Castellet, Irene Llerena, Álgebra lineal y geometría, Editorial reverté, S.A., 2000.

• Máximo Anzola, José Caruncho, Geometría afín y euclídea, Pedidos a los Autores,1981.

• J.M. Aroca Hernández-Ros, Problemas de geometría afín y geometría métrica, uva, 2004.

• Berger, Marcel (1987), Geometry I, Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3.

• Nomizu, K.; Sasaki, S. (1994), Affine Differential Geometry (New edición), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3.