Sistema hamiltoniano superintegrable

En matemáticas, un sistema hamiltoniano superintegrable es un sistema hamiltoniano en una variedad simpléctica de dimensión ${\displaystyle 2n}$ en el que se cumplen las siguientes condiciones:

(i) Existen ${\displaystyle k>n}$ integrales de movimiento ${\displaystyle F_{i}}$ independientes. Sus superficies de nivel (subvariedades invariantes) forman una variedad fibrada ${\displaystyle F:Z\to N=F(Z)}$ sobre un subconjunto abierto y conexo ${\displaystyle N\subset \mathbb {R} ^{k}}$.

(ii) Existen funciones reales diferenciables ${\displaystyle s_{ij}}$ en ${\displaystyle N}$ tales que el corchete de Poisson de las integrales de movimiento se expresa como ${\displaystyle \{F_{i},F_{j}\}=s_{ij}\circ F}$.

(iii) La función matricial ${\displaystyle s_{ij}}$ es de corrango constante ${\displaystyle m=2n-k}$ en ${\displaystyle N}$.

Si ${\displaystyle k=n}$, el sistema es completamente integrable. El teorema de Mishchenko-Fomenko para sistemas hamiltonianos superintegrables generaliza el teorema de Liouville-Arnold para las coordenadas de acción-ángulo en sistemas completamente integrables como sigue.

Supongamos que las subvariedades invariantes de un sistema hamiltoniano superintegrable son conexas y mutuamente difeomorfas. Entonces la variedad fibrada ${\displaystyle F}$ es un fibrado en el toro ${\displaystyle T^{m}}$. Existe un entorno abierto ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle F}$ que es un fibrado trivial dado con las coordenadas de acción-ángulo generalizadas ${\displaystyle (I_{A},p_{i},q^{i},\phi ^{A})}$, ${\displaystyle A=1,\ldots ,m}$, ${\displaystyle i=1,\ldots ,n-m}$ tal que ${\displaystyle (\phi ^{A})}$ son coordenadas en ${\displaystyle T^{m}}$. Estas coordenadas son las coordenadas de Darboux en una variedad simpléctica ${\displaystyle U}$. El hamiltoniano de un sistema superintegrable solo depende de las variebles de acción ${\displaystyle I_{A}}$ que son las funciones de Casimir de la estructura de Poisson coinducida en ${\displaystyle F(U)}$.

El teorema de Liouville-Arnold para sistemas completamente integrables y el teorema de Mishchenko-Fomenko para los superintegrables se generalizan al caso de subvariedades invariantes no compactas, que son difeomorfas al cilindro toroidal ${\displaystyle T^{m-r}\times \mathbb {R} ^{r}}$.