Mecánica de Nambu

En particular, se considera una variedad diferenciable ${\displaystyle M}$, para un cierto entero ${\displaystyle N\geq 2}$; se tiene una aplicación suave ${\displaystyle N}$-lineal de ${\displaystyle N}$ copias de ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ en sí mismas, tal que es completamente antisimétrico, el corchete de Nambu:

${\displaystyle \{h_{1},\ldots ,h_{N-1},\cdot \}:C^{\infty }(M)\times \cdots C^{\infty }(M)\rightarrow C^{\infty }(M),}$

que actúa como una derivación,

${\displaystyle \{h_{1},\ldots ,h_{N-1},fg\}=\{h_{1},\ldots ,h_{N-1},f\}g+f\{h_{1},\ldots ,h_{N-1},g\},}$

es decir, la identidad de Filippov,[2] análoga a la identidad de Jacobi pero, al contrario que esta, no antisimétrica en todos los argumentos. Para ${\displaystyle N\geq 2}$:

${\displaystyle \{f_{1},\cdots ,~f_{N-1},~\{g_{1},\cdots ,~g_{N}\}\}=\{\{f_{1},\cdots ,~f_{N-1},~g_{1}\},~g_{2},\cdots ,~g_{N}\}+\{g_{1},\{f_{1},\cdots ,f_{N-1},~g_{2}\},\cdots ,g_{N}\}+\dots }$ ${\displaystyle +\{g_{1},\cdots ,g_{N-1},\{f_{1},\cdots ,f_{N-1},~g_{N}\}\},}$

de forma que ${\displaystyle \{f_{1},\ldots ,f_{N-1},\cdot \}}$ actúa como una derivación generalizada sobre el producto ${\displaystyle \{\cdot ,\ldots ,\cdot \}}$.

Existen ${\displaystyle N-1}$ hamiltonianos, ${\displaystyle H_{1},\cdots ,H_{N-1}}$, que generan un flujo incompresible,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f=\{f,H_{1},\ldots ,H_{N-1}\},}$

La velocidad en el espacio de fases no tiene divergencia, por lo que se cumple el teorema de Liouville. El caso ${\displaystyle N=2}$ se reduce a una variedad de Poisson y a la mecánica hamiltoniana convencional.

Para ${\displaystyle N}$ pares mayores, los ${\displaystyle N-1}$ hamiltonianos se identifican con el número maximal de invariantes del movimiento independientes (o cantidades conservadas) que caracterizan un sistema superintegrable que evoluciona en un espacio de fases ${\displaystyle N}$-dimensional. Estos sistemas también se pueden describir utilizando dinámica hamiltoniana convencional, pero su descripción en el marco de la mecánica de Nambu es sustancialmente más elegante e intuitiva, ya que los invariantes tienen la misma situación geométrica que el hamiltoniano: la trayectoria en el espacio de fases es la intersección de las ${\displaystyle N-1}$ hipersuperficies especificadas por estos invariantes. Así, el flujo es perpendicular a todos los ${\displaystyle N-1}$ gradientes de estos hamiltonianos, y por tanto paralelo al producto cruzado generalizado especificado por el corchete de Nambu respectivo.

La mecánica de Nambu se puede extender a la dinámica de fluidos, donde los corchetes de Nambu resultantes son no canónicos y los hamiltonianos se identifican con los operadores de Casimir del sistema, como la enstrofía o la helicidad.[3][4]

La cuantización de la dinámica de Nambu lleva a estructuras de gran interés,[5] que coinciden con la cuantización convencional cuando se tratan sistemas superintegrables, como es de esperar.

• Mecánica hamiltoniana
• Variedad simpléctica
• Variedades de Poisson
• Álgebra de Poisson
• Sistema hamiltoniano integrable
• Cantidad conservada
• Mecánica de fluidos hamiltoniana

• Curtright, T.; Zachos, C. (2003). «Classical and quantum Nambu mechanics». Physical Review. D68 (8): 085001. Bibcode:2003PhRvD..68h5001C. doi:10.1103/PhysRevD.68.085001.
• Filippov, V. T. (1986). «n-Lie Algebras». Sib. Math. Journal 26 (6): 879-891. doi:10.1007/BF00969110.
• Nambu, Y. (1973). «Generalized Hamiltonian dynamics». Physical Review. D7 (8): 2405-2412. Bibcode:1973PhRvD...7.2405N. doi:10.1103/PhysRevD.7.2405.
• Nevir, P.; Blender, R. (1993). «A Nambu representation of incompressible hydrodynamics using helicity and enstrophy». J. Phys. A 26 (22): 1189-1193. Bibcode:1993JPhA...26L1189N. doi:10.1088/0305-4470/26/22/010.
• Blender, R.; Badin, G. (2015). «Hydrodynamic Nambu mechanics derived by geometric constraints». J. Phys. A 48 (10): 105501. Bibcode:2015JPhA...48j5501B. doi:10.1088/1751-8113/48/10/105501.
• Blender, R.; Badin, G. (2017). «Construction of Hamiltonian and Nambu Forms for the Shallow Water Equations». Fluids 2: 24. doi:10.3390/fluids2020024.