Tabla normal estándar

Si X es una variable aleatoria de una distribución normal con media μ y desviación estándar σ, su valor asignado Z puede calcularse a partir de X restándole μ y dividiendo por la desviación estándar:

${\displaystyle Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}}$

Para el promedio de una muestra de tamaño n de alguna población en la que la media es μ y la desviación estándar es σ, el error estándar es σ/√n:

${\displaystyle Z={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}}$

Las tablas de Z se componen típicamente de la siguiente manera:

• La etiqueta de las filas contiene la parte entera y el primer decimal de Z.
• La etiqueta de las columnas contiene el segundo decimal de Z.
• Los valores dentro de la tabla son las probabilidades correspondientes al tipo de tabla. Estas probabilidades se corresponden con el área bajo la curva normal desde el origen considerado (el 0 para el acumulado desde la media; el infinito negativo para el acumulado de Z; y el infinito positivo para el acumulado complementario de Z).

Ejemplo: para encontrar 0.69, se busca hacia abajo en las filas hasta encontrar 0.6 y luego a través de las columnas hasta 0.09, lo que daría una probabilidad de 0.25490 para una tabla acumulativa desde la media; o 0.75490 para una tabla acumulativa .

Debido a que la curva de distribución normal es simétrica, habitualmente se dan las probabilidades para solo valores positivos de Z. El usuario tiene que usar una operación complementaria con el valor absoluto de Z, como en el ejemplo incluido a continuación.

Las tablas Z usan al menos tres convenciones diferentes:

Acumulados desde la media

Se indica la probabilidad de que una estadística esté entre 0 (media) y Z. Ejemplo: Prob (0≤Z≤0,69) = 0.2549

Acumulados

Se indica la probabilidad de que un valor estadístico sea menor que Z. Esto equivale al área de la distribución normal de los valores menores que Z. Ejemplo: Prob (Z≤0,69)  = 0.7549.

Acumulados complementarios

Se especifica la probabilidad de que un valor estadístico sea mayor que Z. Esto equivale al área de la distribución normal correspondiente a los valores mayores que Z.

Ejemplo: Hallar la probabilidad de que (Z ≥ 0,69). Como esta es la porción del área por encima de Z, la proporción que es mayor que Z se encuentra restando Z de 1. Eso es Prob (Z ≥ 0.69) = 1 - Prob (Z ≤ 0.69) o Prob (Z ≥ 0.69) = 1 - 0.7549 = 0.2451.

Los valores corresponden al área sombreada de amarillo para una Z dada

Esta tabla da la probabilidad de que un suceso estadístico esté entre 0 (la media) y Z.

${\displaystyle f(z)=\Phi (z)-{\frac {1}{2}}}$

Téngase en cuenta que para z = 1, 2, 3, se obtienen (después de multiplicar por 2 para tener en cuenta el intervalo [-z, z]) los resultados f (z) = 0.6827, 0.9545, 0.9974, característicos de la regla 68-95-99.7.

[3]

Esta tabla muestra la probabilidad de que un suceso estadístico sea menor que Z (es decir, esté comprendido entre infinito negativo y Z).

Los valores se calculan utilizando la función de distribución acumulada de una distribución normal estándar con media cero y desviación estándar uno, generalmente denotada con la letra griega mayúscula ${\displaystyle \Phi }$ (phi), que es la integral

${\displaystyle \Phi (z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-t^{2}/2}\,dt}$

${\displaystyle \Phi }$(z) está relacionada con la función error, o erf(z).

${\displaystyle \Phi (z)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right]}$

Esta tabla muestra la probabilidad de que un suceso estadístico sea mayor que Z.

${\displaystyle f(z)=1-\Phi (z)}$

[4]

Esta tabla proporciona la probabilidad de que un suceso estadístico sea mayor que Z, para valores enteros de Z grandes.