Teorema de Cauchy-Hadamard

[5] Sin pérdida de generalidad supondremos que ${\displaystyle a=0}$. En primer lugar demostraremos que la serie de potencias ${\displaystyle \sum c_{n}z^{n}}$ converge para ${\displaystyle |z|<R}$, y en segundo que ésta diverge para ${\displaystyle |z|>R}$.

Supongamos que ${\displaystyle |z|<R}$. Sea ${\displaystyle t=1/R}$ distinto de cero o infinito. Para todo ${\displaystyle \epsilon >0}$, existe sólo un número finito de ${\displaystyle n}$ tales que ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\geq t+\epsilon }$. Ahora, ${\displaystyle |c_{n}|\leq (t+\epsilon )^{n}}$, así que la serie ${\displaystyle \sum c_{n}z^{n}}$ converge si ${\displaystyle |z|<1/(t+\epsilon )}$. Esto demuestra la primera parte.

Sea ahora ${\displaystyle |z|>R}$. Tomando ${\displaystyle |c_{n}|\geq (t-\epsilon )^{n}}$, vemos que la serie no puede converger dado que su n-ésimo término no tiende a 0.