Radio de convergencia

La función ${\displaystyle 1/(1-x)}$ en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencias ${\displaystyle x-x_{0}=x-0=x}$, tiene el siguiente aspecto:

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots }$

(Para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es ${\displaystyle r=1}$. Eso significa que para calcular si se toma cualquier valor cuya distancia al ${\displaystyle x_{0}=0}$ es menor que ${\displaystyle r=1}$, por ejemplo el ${\displaystyle x=0.25}$, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }0.25^{n}=1+0.25+0.25^{2}+0.25^{3}+\ldots ={\frac {4}{3}}}$.

(La cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado

${\displaystyle {\frac {1}{1-0.25}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {4}{3}}}$.

Pero si se toma un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el ${\displaystyle x=2}$, al remplazarlo en la serie, esta será divergente (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}=1+2+2^{2}+2^{3}+\ldots =\infty }$.

El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma función ${\displaystyle 1/(1-x)}$ en su desarrollo con centro ${\displaystyle x_{0}=3}$ tiene la forma:

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {x-3}{4}}-{\frac {(x-3)^{2}}{8}}+{\frac {(x-3)^{3}}{16}}-\ldots }$

Pero en este caso su radio de convergencia es ${\displaystyle r=2}$. Notemos que la función ${\displaystyle 1/(1-x)}$ tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad: ${\displaystyle |0-1|=1}$ y ${\displaystyle |3-1|=2}$. Esto puede llevarnos a pensar que las funciones de variable real que no tengan singularidades tendrán radio de convergencia infinito, lo cual no es así. En el siguiente ejemplo:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

Podemos ver que no se anula el denominador para ningún punto y que por tanto: ${\displaystyle Domf(x)=\mathbb {R} }$. No obstante, la serie se puede expresar como:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1-(-x^{2})}}}$

y gracias al desarrollo como serie de potencias de ${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}}$ queda: ${\displaystyle 1-x^{2}+x^{4}-x^{6}...=\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k}x^{2k}}}$. Con el criterio del cociente podemos comprobar que el radio de convergencia es ${\displaystyle r=1}$. Este resultado tiene que ver con que las raíces de ${\displaystyle x^{2}+1}$ sí existen en el plano complejo y son ${\displaystyle x=i}$ y en ${\displaystyle x=-i}$, ambas a distancia 1 del origen, punto en el que desarrollamos la serie. Más información en [1]

Por ejemplo, la función exponencial ${\displaystyle e^{x}}$ puede desarrollarse en series de potencia de ${\displaystyle x-0=x}$, de hecho

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\ldots }$

y esto vale para todo real ${\displaystyle x}$ por eso el radio de convergencia será infinito.