Serie de potencias

En matemáticas, una serie de potencias es una serie de la forma:

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+\ldots

alrededor de x=c, en el cual el centro es c, y los coeficientes $a_{n}$ son los términos de una sucesión y que usualmente corresponde con la serie de Taylor de alguna función conocida.

En ocasiones, el centro c de la serie es igual a cero, con lo que la serie se denomina serie de Maclaurin y toma la forma simple

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots .

Es de utilidad al momento de construir conjuntos fundamentales de soluciones para ecuaciones diferenciales lineales de 2° orden cuyos coeficientes son funciones de una variable independiente.

Convergencia de series de potencias

Sea $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$ serie de potencias, obtenemos su representación como una serie de potencias convergente estableciendo el teorema de Taylor, el cual nos dice que si $f$ es analítica en un disco abierto centrado en $z_{0}$ entonces la serie de Taylor de $f$ ,

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(f^{n})(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n};

converge en el disco y es igual a $f(z)$ en todo ese disco.[1]

Teorema de convergencia de series de potencias

Si

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}

es una serie de potencias, existe un único número $R\geq 0$ , quizá mayor a infinito $\infty$ ; llamado el radio de convergencia, tal que si $\left|z-z_{0}\right|<R$ , la serie converge y si $\left|z-z_{0}\right|>R$ , la serie diverge. Específicamente la convergencia es uniforme y absoluta en cualquier disco cerrado en $A=\{{z\in C:\left|z-z_{0}\right|<R}\}$ . No podemos generalizar la convergencia si $\left|z-z_{0}\right|=R$ .[1]

Demostración
Sea $r_{0}<R$ . Por la definición de R, existe una $r_{1}$ con $r_{0}<r_{1}\leq R$ tal que $\textstyle \sum \|a_{n}\|r_{1}^{n}$ converge. Por lo tanto, $\textstyle \sum \|a_{n}\|r_{1}^{n}$ converge, gracias al criterio de comparación. Los términos $\|a_{n}\|r_{0}^{n}$ están acotados (a cero) y, por tanto, por el lema de Abel-Weierstrass, la serie converge uniforme y absolutamente en $A_{r}$ para cualquier $r<r_{0}$ . Puesto que cualquier $z$ con $\|z-z_{0}\|<R$ está en alguna $A_{r}$ y viendo que siempre se puede escoger $r_{0}$ tal que $r<r_{0}\leq R$ , se tiene la convergencia en $z$ . Por contradicción, supóngase ahora que $\|z_{1}-z_{0}\|>R$ y $\textstyle \sum a_{n}(z_{1}-z_{0})^{n}$ converge. Los términos $a_{n}(z_{1}-z_{0})^{n}$ están acotados en valor absoluto porque se aproximan al 0. Así, por el lema de Abel-Weierstrass, si $R<r<\|z_{1}-z_{0}\|$ , entonces $a_{n}(z_{1}-z_{0})^{n}$ converge absolutamente si $z_{1}\in A_{r}$ . Por lo tanto $\textstyle \sum \|a_{n}\|r^{n}$ converge. Esto significa, por definición de $R$ , que $R<R$ , llegando a la contradicción, por tanto si $\|z_{1}-z_{0}\|>R$ , la serie diverge. Se ha demostrado que la convergencia es uniforme y absoluta en cada disco cerrado $A_{r}$ estrictamente menor y, por tanto, en cualquier disco cerrado en A.

Lema de Abel-Weierstrass
Sea $R=\sup\{r\geq 0:\quad \sum _{n=0}^{\infty }\vert a_{n}\vert r^{n}{\text{ converge}}\}$ , donde sup es la cota superior más pequeña de ese conjunto de números reales.Suponga que $r_{0}\geq 0$ y que $\vert a_{n}\vert r_{0}^{n}\leq M$ para todo n, donde M es una constante. Para $r<r_{0},\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$ converge uniforme y absolutamente en el disco cerrado $A_{r}=\{z:\vert z-z_{0}\vert \leq r\}$ .

Ejemplos

La función exponencial (en azul), y la suma de sus primeros n+1 términos de su serie de Maclaurin (en rojo).

La serie geométrica

\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-x}},

es una serie de potencias, absolutamente convergente si $|x|<1$ y divergente si $|x|>1$ o $|x|=1$ y es uno de los ejemplos más importantes de este tipo de series, como también lo son la fórmula de la función exponencial

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,

y la fórmula del seno

\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,

válidas para todos los reales x. Estas series de potencias son ejemplos de series de Taylor.

Véase también

Referencias

«Jerrold E. Marsden, Michael J. Hoffman-Análisis Básico de Variable Compleja-Trillas (1996)| Funciones trigonométricas | Número complejo». Scribd. Consultado el 26 de junio de 2022.

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Power Series». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

Datos: Q206925
Multimedia: Power series / Q206925

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[Complex-1] «Jerrold E. Marsden, Michael J. Hoffman-Análisis Básico de Variable Compleja-Trillas (1996)| Funciones trigonométricas | Número complejo». Scribd. Consultado el 26 de junio de 2022.