Teorema de Cochran

Sean ${\displaystyle Y\sim N_{n}(0,\sigma ^{2}I_{n})}$ un vector aleatorio con distribución normal multivariada, donde ${\displaystyle I_{n}}$ denota la matriz identidad de tamaño ${\displaystyle n\times n}$, y ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{k}}$ matrices simétricas de tamaño ${\displaystyle n\times n}$ con

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}A_{i}=I_{n}}$

entonces una de las siguientes condiciones implica las siguientes dos:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\operatorname {Rank} (A_{i})=n}$

${\displaystyle Y^{T}A_{i}Y\sim \sigma ^{2}\chi _{\operatorname {Rank} (A_{i})}^{2}}$

${\displaystyle Y^{T}A_{i}Y}$ es independiente de ${\displaystyle Y^{T}A_{j}Y}$ para ${\displaystyle i\neq j}$.

Para estimar la varianza ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, un estimador usado es el estimador por máxima verosimilitud de la varianza de una distribución normal

${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}$

el teorema de Cochran demuestra que

${\displaystyle {\frac {n{\widehat {\sigma }}^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}}$

y por las propiedades de la distribución Chi-Cuadrada se tiene que

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[{\frac {n{\widehat {\sigma }}^{2}}{\sigma ^{2}}}\right]&=\operatorname {E} [\chi _{n-1}^{2}]\\{\frac {n}{\sigma ^{2}}}\operatorname {E} \left[{\widehat {\sigma }}^{2}\right]&=n-1\\\operatorname {E} \left[{\widehat {\sigma }}^{2}\right]&={\frac {\sigma ^{2}(n-1)}{n}}\end{aligned}}}$