Teorema de Wallace–Bolyai–Gerwien

En geometría, el teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien, nombrado así por William Wallace, Farkas Bolyai y Paul Gerwien, es un teorema relacionado con las disecciones de polígonos.[1] Contesta a la pregunta de cuando un polígono puede ser construido a partir de otro cortando el original en un número finito de piezas, recomponiéndolo con traslaciones y rotaciones. El teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien dice que esto puede hacerse si y solo si los dos polígonos tienen la misma área.

Según el teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien, un cuadrado puede cortarse en trozos que pueden ser reorganizados en un triángulo de área igual.

Historia

Farkas Bolyai fue el primero en formular la cuestión. Gerwien probó el teorema en 1833, pero de hecho Wallace había probado ya el mismo resultado en 1807. Según otras fuentes, Bolyai y Gerwien habrían probado independientemente el teorema en 1833 y 1835, respectivamente.[2]

Formulación

Hay varias maneras en las que este teorema puede ser formulado. La versión más común utiliza el concepto de «equidescomponibilidad» de polígonos: dos polígonos son equidescomponibles si pueden ser partidos en un número finito de triángulos que solo difieren por isometría (de hecho solo por la combinación de una traslación y una rotación). En este caso el teorema de Wallace–Bolyai–Gerwien dice que dos polígonos son equidescomponibles si y solo si tienen la misma área.[3]

Otra formulación se expresa en términos de congruencias de tijera: dos polígonos son congruentes de tijera si pueden ser descompuestos en un número finito de polígonos que son congruentes por parejas. La congruencia de tijera es una relación de equivalencia. En este caso el teorema de Wallace–Bolyai–Gerwien dice que las clases de equivalencia de esta relación contienen precisamente estos polígonos que tienen la misma área.[1]

Esbozo de la demostración

El teorema se puede entender en unos cuantos pasos. En primer lugar, cada polígono puede ser dividido en triángulos. Hay unos cuantos métodos para ello. Para los polígonos convexos, uno puede cortar cada vértice a su vez, mientras que para los polígonos cóncavos esto requiere más cuidado. Una aproximación general que funciona también para polígonos no simples sería escoger una línea no paralela a cualquiera de los lados del polígono y dibujar una línea paralela a esta a través de cada uno de los vértices del polígono. Esto dividirá el polígono en triángulos y trapezoides, los cuales a su vez pueden ser convertidos en triángulos.[4]

En segundo lugar, cada uno de estos triángulos se pueden transformar en un triángulo rectángulo y subsecuentemente en un rectángulo con un lado de longitud 1. Alternativamente, un triángulo puede ser transformado en el rectángulo anteriormente mencionado primero convirtiéndolo en un paralelogramo y después convirtiendo este en el rectángulo. Haciendo esto para cada triángulo, el polígono puede ser descompuesto en un rectángulo con anchura y altura igual a su área.[4]

Puesto que esto se puede hacer para dos polígonos cualquiera, «una subdivisión común» del rectángulo en medio prueba el teorema. Es decir, cortar el rectángulo común (de medida 1 por su área) de acuerdo con ambos polígonos será un intermedio entre ambos polígonos.[5]

Notas sobre la demostración

Ante todo, esta prueba requiere un polígono intermedio. En la formulación del teorema que utiliza congruencia de tijera, el uso de este intermedio puede ser reformulado utilizando el hecho que las congruencias de tijera son transitivas. Y como ambos polígonos son congruentes de tijera al intermedio, son congruentes de tijera entre sí.[4]

La demostración de este teorema es constructiva y no requiere el axioma de elección, aunque algunos otros problemas de disección (p. ej. Problema de la cuadratura del círculo de Tarski) lo necesitan.[6] En este caso, la descomposición y reensamblaje pueden ser llevados a cabo físicamente: las piezas pueden, en teoría, ser cortadas con tijeras de un papel y reensembladas a mano.[7]

Sin embargo, el número de piezas requerido para componer un polígono de otro utilizando este procedimiento, generalmente supera de lejos el número mínimo de polígonos necesitado.[8]

Generalizaciones

La declaración análoga sobre poliedros en tres dimensiones, conocido como el tercer problema de Hilbert, es falso, como probó Max Dehn en 1900. El problema también ha sido considerado en algunas geometrías no euclidianas. En geometría hiperbólica y esférica bidimensional, el teorema se mantiene. Aun así, el problema está todavía abierto para estas geometrías en tres dimensiones.[9]

Referencias
  1. Proceedings of the American Mathematical Society - Vol. 94, No. 2, Jun., 1985
  2. Bogomolny, A. «Wallace-Bolyai-Gerwien Theorem» (en inglés). Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.
  3. András, Szilárd; Tamási, Csaba; van Hiele, Pierre. «Teaching geometry through play» (en inglés). Consultado el 21 de diciembre de 2015.
  4. Abbott, Timothy G. (enero de 2012). «Hinged Dissections Exist». Discrete and Computational Geometry: 150-186. Consultado el 21 de diciembre de 2015.
  5. Erickson, Martin (2009). Aha! Solutions (en inglés). Washington, DC: Mathematical Association of America. pp. 62-63. ISBN 0883858290.
  6. Wagon, Stan (1999). The Banach-Tarski paradox (en inglés) (Repr., 1st digital print. edición). Cambridge [u.a.]: Cambridge Univ. Press. pp. 215-221. ISBN 0521457041.
  7. Bernués, Julio. Paradojas del Infinito. El Teorema de Banach-Tarski.. p. 2. Consultado el 23 de diciembre de 2015.
  8. http://mathworld.wolfram.com/Dissection.html
  9. Senechal, Marjorie (2012). Shaping space exploring polyhedra in nature, art, and the geometrical imagination (en inglés) (2da. edición). New York: Springer. p. 61. ISBN 038792714X.

Enlaces externos
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