Teorema de la parada opcional

Sea ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in \mathbb {N} _{0}},P)}$ un espacio de probabilidad filtrado, donde ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} \cup \{0\}}$. Sea ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in \mathbb {N} _{0}}}$ una ${\displaystyle (\mathbb {F} ,P)}$-martingala, y sea ${\displaystyle \tau }$ un ${\displaystyle \mathbb {F} }$-tiempo de parada. Suponemos que se da una de las siguientes tres condiciones:

(a) El tiempo de parada ${\displaystyle \tau }$ es casi seguramente acotado, es decir, existe una constante ${\displaystyle c\in \mathbb {N} }$ tal que ${\displaystyle \tau \leq c}$ casi seguramente.

(b) El tiempo de parada ${\displaystyle \tau }$ tiene esperanza finita, y las esperanzas condicionales del valor absoluto de los incrementos de ${\displaystyle X}$ son casi seguramente acotadas; más precisamente, ${\displaystyle E[\tau ]<\infty }$ y existe una constante ${\displaystyle c}$ tal que ${\displaystyle E[|X_{t+1}-X_{t}|{\big \vert }{\mathcal {F}}_{t}]\leq c}$ casi seguramente en el suceso ${\displaystyle \{\tau >t\}}$, para todo ${\displaystyle t\in \mathbb {N} _{0}}$.

(c) Existe una constante ${\displaystyle c}$ tal que ${\displaystyle |X_{\tau \land t}|\leq c}$ casi seguramente para todo ${\displaystyle t\in \mathbb {N} _{0}}$, donde ${\displaystyle \land }$ denota el operador mínimo.

Entonces ${\displaystyle X_{\tau }}$ es una variable aleatoria casi seguramente bien definida, y ${\displaystyle E[X_{\tau }]=E[X_{0}]}$.

Análogamente, si el proceso estocástico ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in \mathbb {N} _{0}}}$ es una submartingala o una supermartingala, y una de las condiciones anteriores se cumple, entonces

${\displaystyle E[X_{\tau }]\geq E[X_{0}]}$

o

${\displaystyle E[X_{\tau }]\leq E[X_{0}]}$,

respectivamente.