Martingala

Sea ${\displaystyle (X_{n})_{n\geq 0}}$ una sucesión de variable aleatorias. Se dice que ${\displaystyle M=(M_{n})_{n\geq 0}}$ es una martingala con respecto a ${\displaystyle (X_{n})_{n\geq 0}}$ siempre que se satisfagan los puntos siguientes:

• ${\displaystyle \mathbb {E} (|M_{n}|)<\infty }$
• ${\displaystyle \mathbb {E} (M_{n+1}|X_{0},...,X_{n})=M_{n}}$

Una propiedad interesante de las martingalas es que su esperanza se mantiene constante a lo largo de todos los valores de ${\displaystyle n}$. Se adjunta una sencilla prueba a continuación:

${\displaystyle \mathbb {E} (M_{n+1}|X_{0},...,X_{n})=M_{n}\Rightarrow \mathbb {E} (\mathbb {E} (M_{n+1}|X_{0},...,X_{n}))=\mathbb {E} (M_{n})}$

Aplicando la ley de la probabilidad total a la esperanza (también conocida como propiedad de la torre, ${\displaystyle \mathbb {E} (X)=\mathbb {E} (\mathbb {E} (X|Y))}$), se tiene que:

${\displaystyle \mathbb {E} (\mathbb {E} (M_{n+1}|X_{0},...,X_{n}))=\mathbb {E} (M_{n+1})\Rightarrow \mathbb {E} (M_{n+1})=\mathbb {E} (M_{n})}$

Como es válido para todo ${\displaystyle n}$ se tiene que las martingalas poseen esperanza constante.

Otras definiciones importantes (muy relacionadas con el concepto de martingala) son la sub y supermatingala. A continuación establecemos una definición para cada una de ellas.

Sea ${\displaystyle (X_{n})_{n\geq 0}}$ una secuencia de variable aleatorias. Se dice que ${\displaystyle M=(M_{n})_{n\geq 0}}$ es una supermartingala con respecto a ${\displaystyle (X_{n})_{n\geq 0}}$ siempre que se satisfagan los puntos siguientes:

• ${\displaystyle \mathbb {E} (|M_{n}|)<\infty }$
• ${\displaystyle \mathbb {E} (M_{n+1}|X_{0},...,X_{n})\leq M_{n}}$
• ${\displaystyle M_{n}=f(X_{0},...,X_{n})}$, es decir, ${\displaystyle M_{n}}$ es función de la sucesión hasta el valor ${\displaystyle n}$.

Sea ${\displaystyle (X_{n})_{n\geq 0}}$ una secuencia de variable aleatorias. Se dice que ${\displaystyle M=(M_{n})_{n\geq 0}}$ es una submartingala con respecto a ${\displaystyle (X_{n})_{n\geq 0}}$ siempre que se satisfagan los puntos siguientes:

• ${\displaystyle \mathbb {E} (|M_{n}|)<\infty }$
• ${\displaystyle \mathbb {E} (M_{n+1}|X_{0},...,X_{n})\geq M_{n}}$
• ${\displaystyle M_{n}=f(X_{0},...,X_{n})}$, es decir, ${\displaystyle M_{n}}$ es función de la sucesión hasta el valor ${\displaystyle n}$.

La diferencia fundamental entre las supermartingalas y las submartingalas estriba en la dirección de la desigualdad en el segundo punto de la definición.

Algunas observaciones interesantes pueden condensarse en los puntos siguientes:

• ${\displaystyle (M_{n})_{n\geq 0}}$ es una supermartingala ${\displaystyle \iff }$ ${\displaystyle (-M_{n})_{n\geq 0}}$ es una submartingala.
• ${\displaystyle (M_{n})_{n\geq 0}}$ es una martingala ${\displaystyle \iff (M_{n})_{n\geq 0}}$ es una sub y supermartingala.

Notar que en las observaciones anteriores estamos abusando del lenguaje. El término adecuado que habría que utilizar es martingala respecto de la sucesión ${\displaystyle (X_{n})_{n\geq 0}}$ .

Sea un espacio de probabilidad definido por ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$, donde ${\displaystyle \Omega }$ es el espacio de muestra (esto es, el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio); ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ es la σ-álgebra asociada a ${\displaystyle \Omega }$, y ${\displaystyle P}$ es la medida de probabilidad.

Sea ${\displaystyle \mathbb {F} }$ una filtración de ${\displaystyle \sigma }$-algebras: ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\subset {\mathcal {F}}_{2}\subset \ldots \subset {\mathcal {F}}_{T}\subseteq {\mathcal {F}}}$. Sea ${\displaystyle \{X(t)\}=X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ una sucesión de variables aleatorias que forman un proceso estocástico.

Entonces, el proceso estocástico ${\displaystyle \{X(t),t\geq 0\}}$ adaptado a la filtración ${\displaystyle \mathbb {F} }$ recibe el nombre de martingala si

${\displaystyle \mathbb {E} \left(X(t)|{\mathcal {F}}_{s}\right)=X(s)}$

donde ${\displaystyle \mathbb {E} }$ es la esperanza matemática, y donde ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}}$ es cualquier sub-σ-álgebra de la filtración ${\displaystyle \mathbb {F} }$.

Esto es, un proceso estocástico es una martingala si su esperanza en tiempo 't', con ${\displaystyle t>s}$ sujeta a la condición de que la información conocida sobre el proceso en un instante anterior 's' sea la dada por ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}}$, sea precisamente el valor que la variable aleatoria que define el proceso tomó en dicho instante 's'. Dicho de otro modo, un proceso estocástico es una martingala cuando su esperanza en tiempo futuro es precisamente el valor que la variable tiene en tiempo presente. Esto significa que el proceso no tiene deriva estadística.

Cuando el mismo proceso estocástico cumple que

${\displaystyle \mathbb {E} \left(X(t)|{\mathcal {F}}_{s}\right)\geq X(s)}$

entonces se dice que el proceso es una submartingala.

Cuando el mismo proceso estocástico cumple que

${\displaystyle \mathbb {E} \left(X(t)|{\mathcal {F}}_{s}\right)\leq X(s)}$

entonces se dice que el proceso es una supermartingala.

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Martingale», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.
• «The Splendors and Miseries of Martingales». Electronic Journal for History of Probability and Statistics 5 (1). junio de 2009. Entire issue dedicated to Martingale probability theory.
• Williams, David (1991). Probability with Martingales. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40605-6.
• Oksendal, Bernt (2003). Stochastic Differential Equations. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-354-004-758-2.
• Kleinert, Hagen (2004). Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets (4th edición). Singapore: World Scientific. ISBN 981-238-107-4.
• Siminelakis, Paris (2010). «Martingales and Stopping Times: Use of martingales in obtaining bounds and analyzing algorithms» (PDF). University of Athens. Archivado desde el original el 19 de febrero de 2018. Consultado el 3 de junio de 2014.
• Ville, Jean (1939), Étude critique de la notion de collectif, Monographies des Probabilités (en francés) 3, París: Gauthier-Villars, Zbl 0021.14601, Review by Doob.