Potencia de un punto

Caso 1: El punto de corte es interior a la circunferencia.

Tomando dos cuerdas arbitrarias AB y CD de la circunferencia que se cortan en el punto P, se consideran los triángulos ${\displaystyle \triangle APC}$ y ${\displaystyle \triangle DPB}$ los cuales serán semejantes, pues :

• El teorema del ángulo inscrito establece que ${\displaystyle \angle PAC=\angle PDB}$, siendo ambos iguales a la mitad del arco BC.
• Los ángulos ${\displaystyle \angle APC}$ y ${\displaystyle \angle BPD}$ son iguales por ser opuestos por el vértice.

De dicha semejanza se deduce que

${\displaystyle {\frac {PA}{PD}}={\frac {PC}{PB}}}$

y por tanto

${\displaystyle PA\cdot PB=PC\cdot PD}$.

Este resultado se encuentra ya en la obra Los Elementos de Euclides:[2]

Si en una circunferencia se cortan dos rectas entre sí, el rectángulo comprendido por los segmentos de una es igual al rectángulo comprendido por los segmentos de la otra

Euclides. Los Elementos, libro III, proposición 35.

Debe aclararse que en la concepción matemática griega los números eran representados siempre por cantidades geométricas y por tanto no tenía sentido una multiplicación «numérica» de longitudes de segmentos. Por ello, decir que dos productos tienen el mismo valor expresa que los rectángulos formados por dichos segmentos son iguales (esto es, sus áreas).

Caso 2: El punto de corte es exterior a la circunferencia.

En este caso AB y CD son dos secantes que se intersecan en un punto P exterior a la circunferencia. Al igual que en el caso anterior es posible demostrar que los triángulos ${\displaystyle \triangle APC}$ y ${\displaystyle \triangle DPB}$ son semejantes pues:

• El cuadrilátero ABDC es cíclico y por tanto ${\displaystyle \angle ACD+\angle ABD=180^{\circ }}$. Por otro lado ${\displaystyle \angle ABD+\angle DBP=180^{\circ }}$ y por tanto ${\displaystyle \angle DBP=\angle ACD}$.
• Los ángulos ${\displaystyle \angle BPD}$ y ${\displaystyle \angle CPA}$ son el mismo ángulo y por tanto iguales entre sí.

De la semejanza se deduce nuevamente que

${\displaystyle {\frac {PA}{PD}}={\frac {PC}{PB}}}$

y por tanto

${\displaystyle PA\cdot PB=PC\cdot PD}$.

Caso 3: El punto de corte es exterior a la circunferencia y una de las rectas es tangente.

Un caso de especial consideración es el formado por una recta tangente y una secante, como en la figura. En esta situación, el ángulo ${\displaystyle \angle BTP}$ es semi-inscrito y mide la mitad del arco BT, al igual que el ángulo inscrito ${\displaystyle \angle TAP}$.

La igualdad de ángulos nuevamente implica una semejanza de triángulos, en esta ocasión ${\displaystyle \triangle PAT}$ y ${\displaystyle \triangle PTB}$. Dicha semejanza implica

${\displaystyle {\frac {PA}{PT}}={\frac {PT}{PB}}}$

y por tanto

${\displaystyle PA\cdot PB=PT^{2}}$.

Una recta tangente puede considerarse como un caso límite de secantes.

Este caso en realidad puede considerarse como un caso límite del correspondiente a dos secantes, obtenido cuando los puntos C, D se desplazan sobre la circunferencia hasta coincidir. En este sentido, el punto de tangencia es en realidad un punto de corte «doble» y el producto PC·PD se convierte en PT·PT=PT².

El valor de PA·PB es igual a r²-d².

Para hallar el valor de la potencia de un punto, considérese la situación donde la cuerda AB pasa por el centro O de la circunferencia, es decir, AB es un diámetro. Etiquetando los puntos como en la figura adjunta, se observa

${\displaystyle PA\cdot PB=(r+d)(r-d)=r^{2}-d^{2}}$.

Por tanto, el producto para cualquier otra cuerda PC·PD es el mismo valor: r²-d².

El valor de PA·PB es igual a d²-r².

Cuando el punto es exterior a la circunferencia, ya se ha establecido que el valor de la potencia de un punto exterior es igual al cuadrado de la longitud de una tangente a la circunferencia desde dicho punto.

Considerando la figura formada por una tangente PT y una recta que pasa por el centro O de la circunferencia, se encuentra que el triángulo ${\displaystyle \triangle POT}$ es rectángulo pues una recta tangente es perpendicular a la recta que une el punto de tangencia con el centro de la circunferencia, es decir: ${\displaystyle PT\perp OT}$.

Aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene

${\displaystyle PO^{2}=PT^{2}+OT^{2}\,}$

y por tanto

${\displaystyle PT^{2}=PO^{2}-OT^{2}\,}$

es decir:

${\displaystyle PT^{2}=d^{2}-r^{2}\,}$.

Otra forma de demostrar la relación es observar que, con la disposición de la figura, cuando AB es un diámetro, la longitud del segmento PA es (d+r) mientras que la del segmento PB es (d-r) y así:

${\displaystyle PA\cdot PB=(d+r)(d-r)=d^{2}-r^{2}\,}$.

segmento PO es igual a d y la del segmento OA es igual a r.

Gráfico de la función potencia de un punto, relativa a una circunferencia de radio 1 (en rojo). Obsérvese que la imagen de la parte interior a la circunferencia es negativa y por tanto queda debajo del plano xy (en verde).

La definición algebraica permite adicionalmente el cálculo de la potencia de un punto mediante el uso de coordenadas. La potencia del punto P=(x,y) respecto a una circunferencia centrada en el origen con radio 1 es

${\displaystyle \pi (x,y)=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})^{2}-1^{2}=x^{2}+y^{2}-1}$.

mientras que la función potencia relativa a una circunferencia centrada en el origen, con radio arbitrario r es

${\displaystyle \pi (x,y)=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})^{2}-r^{2}=x^{2}+y^{2}-r^{2}}$.

Es posible obtener la gráfica en 3 dimensiones de estas funciones, con el plano xy como dominio y el eje z como codominio, resultando la gráfica un paraboloide.

Laguerre definió la potencia de un punto P respecto de una curva algebraica de grado n como el producto de las distancias desde P a las intersecciones de una circunferencia que pasa por P con la curva, dividido por la enésima potencia del diámetro d. Laguerre estableció que este valor es independiente del diámetro.

En el caso en que sea una circunferencia esa curva algebraica, la distinción respecto de la potencia del punto acorde a lo previamente definido es que difiere por un factor de d².

El eje radical de dos circunferencias es una recta perpendicular a la línea de los centros.

Otro lugar geométrico que se puede considerar es aquel formado por los puntos cuya potencia respecto a dos circunferencias fijas (no concéntricas) es la misma. Es decir, aquellos puntos P tales que ${\displaystyle d_{1}^{2}-r_{1}^{2}=d_{2}^{2}-r_{2}^{2}}$ donde ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$ son las distancias desde P a los centros de la primera y segunda circunferencia, mientras que ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ son los radios de los mismos.

Este lugar geométrico es una línea recta, denominada eje radical de las dos circunferencias, perpendicular a la línea que une los centros de ambas. Los detalles varían dependiendo de la posición relativa de las circunferencias (si se cortan, si son ajenas o si una contiene a la otra).

El caso más sencillo, aquí ilustrado, es el que ambas circunferencias se cortan. Denominando por A, B a los puntos de corte, se observa que para cualquier punto de la línea AB se cumple que la potencia respecto a cualquiera de las dos circunferencias es la misma: PA·PB.

Como consecuencia adicional se obtiene que dicha recta también es el lugar geométrico de los puntos, desde los cuales se puede trazar tangentes de la misma longitud hacia cada una de las circunferencias. Esto es porque la potencia del punto P también es igual a PF² y PG², por lo que PF=PG.

El punto de igual potencia respecto a tres circunferencias es el Centro Radical. Este es el lugar donde se cortan los ejes radicales de cada par de circunferencias. Este centro, como el Eje radical, tienen interés en la resolución de problemas de tangentes.