Prueba de Shapiro–Wilk

En estadística, la prueba de Shapiro–Wilk se usa para contrastar la normalidad de un conjunto de datos. Se plantea como hipótesis nula que una muestra ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ proviene de una población normalmente distribuida. Fue publicado en 1965 por Samuel Shapiro y Martin Wilk.[1] Se considera uno de las pruebas más potentes para el contraste de normalidad.

El estadístico de la prueba es:

${\displaystyle W={\left(\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}x_{(i)}\right)^{2} \over \sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}$

donde

• ${\displaystyle x_{(i)}}$ (con el subíndice ${\displaystyle i}$ entre paréntesis) es el número que ocupa la ${\displaystyle i}$-ésima posición en la muestra (con la muestra ordenada de menor a mayor);
• ${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}}$ es la media muestral;
• las variables ${\displaystyle a_{i}}$ se calculan[2]

${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})={m^{\top }V^{-1} \over (m^{\top }V^{-1}V^{-1}m)^{1/2}}}$

donde

${\displaystyle m=(m_{1},\dots ,m_{n})^{\top }\,}$

siendo ${\displaystyle m_{1},\dots ,m_{n}}$ los valores medios del estadístico ordenado, de variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas, muestreadas de distribuciones normales y ${\displaystyle V}$ denota la matriz de covarianzas de ese estadístico de orden.

La hipótesis nula se rechazará si ${\displaystyle W}$ es demasiado pequeño.[3] El valor de ${\displaystyle W}$ puede oscilar entre 0 y 1.

Interpretación: Siendo la hipótesis nula que la población está distribuida normalmente, si el p-valor es menor a alfa (nivel de significancia) entonces la hipótesis nula es rechazada (se concluye que los datos no vienen de una distribución normal). Si el p-valor es mayor a alfa, se concluye que no se puede rechazar dicha hipótesis.

La normalidad se verifica confrontando dos estimadores alternativos de la varianza σ²:

• un estimador no paramétrico al numerador, y
• un estimador paramétrico (varianza muestral), al denominador.