Tetraedro de Hill

Para cada ${\displaystyle \alpha \in (0,2\pi /3)}$, sean ${\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}\in \mathbb {R} ^{3}}$ tres vectores unitarios con ángulo ${\displaystyle \alpha }$ entre cada dos de ellos. Se define el tetraedro de Hill ${\displaystyle Q(\alpha )}$ de la manera siguiente:

${\displaystyle Q(\alpha )\,=\,\{c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}\mid 0\leq c_{1}\leq c_{2}\leq c_{3}\leq 1\}.}$

(Nota: la suma implica que los tres vectores no coinciden en el mismo punto)

Un caso especial ${\displaystyle Q=Q(\pi /2)}$ es el tetraedro cuyos todos sus lados son triángulos rectángulos, dos con lados ${\displaystyle (1,1,{\sqrt {2}})}$ y dos con lados ${\displaystyle (1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$. Ludwig Schläfli estudió ${\displaystyle Q}$ como un caso especial del ortoesquema, y H. S. M. Coxeter lo denominó el tetraedro característico del recubrimiento espacial cúbico.

• Un cubo se puede rellenar mediante un teselado formado con seis copias de ${\displaystyle Q}$.
• Cada ${\displaystyle Q(\alpha )}$ se puede diseccionar en tres politopos que se pueden volver a montar formando un prisma.

En 1951, Hugo Hadwiger encontró la siguiente generalización n-dimensional del tetraedro de Hill:

${\displaystyle Q(w)\,=\,\{c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n}v_{n}\mid 0\leq c_{1}\leq \cdots \leq c_{n}\leq 1\},}$

donde los vectores ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ satisfacen que ${\displaystyle (v_{i},v_{j})=w}$ para todo ${\displaystyle 1\leq i<j\leq n}$, y donde ${\displaystyle -1/(n-1)<w<1}$. Demostró que todos esos simplices son corte congruentes con un hipercubo.

• Ortoesquema de Schläfli

• M. J. M. Hill, Determination of the volumes of certain species of tetrahedra without employment of the method of limits, Proc. London Math. Soc., 27 (1895–1896), 39–53.
• H. Hadwiger, Hillsche Hypertetraeder, Gazeta Matemática (Lisboa), 12 (No. 50, 1951), 47–48.
• H.S.M. Coxeter, Frieze patterns, Acta Arithmetica 18 (1971), 297–310.
• E. Hertel, Zwei Kennzeichnungen der Hillschen Tetraeder, J. Geom. 71 (2001), no. 1–2, 68–77.
• Greg N. Frederickson, Dissections: Plane and Fancy, Cambridge University Press, 2003.
• N.J.A. Sloane, V.A. Vaishampayan, Generalizations of Schobi’s Tetrahedral Dissection, arΧiv:0710.3857.

• Disección en tres piezas de un tetraedro de Hill para formar un prisma triangular
• Tetraedros que rellenan el espacio