Tetrominó

El nombre "tetrominó" es una combinación del prefijo tetra- "cuatro" (del griego antiguo τετρα-) y "dominó".

Aunque un conjunto completo de tetrominós libres tiene un total de 20 cuadrados, no se pueden empaquetar en un rectángulo, como los hexominós, mientras que un conjunto completo de pentominós se puede agrupar en cuatro rectángulos diferentes. La prueba se asemeja a la del problema del tablero de ajedrez mutilado:

Un rectángulo que tiene 20 cuadrados cubiertos con un patrón de tablero de ajedrez tiene 10 cuadrados claros y otros 10 oscuros, pero un conjunto completo de tetrominós libres tiene 11 cuadrados de un tono y 9 del otro (el tetrominó en T tiene 3 de un tono y solo 1 del otro, mientras que todos los demás tetrominós tienen 2 de cada uno). Del mismo modo, un conjunto completo de tetrominós unilaterales tiene 28 cuadrados, que requieren un rectángulo con 14 cuadrados de cada color, pero el conjunto tiene 15 cuadrados de un color y 13 del otro.

Por extensión, cualquier número impar de juegos completos de cualquier tipo no puede encajarse en un rectángulo. Sin embargo, un multiconjunto que incluyese dos juegos de tetrominós libres, con un área total de 40 cuadrados, puede acomodarse en rectángulos de 4x10 o de 5x8 cuadrados de lado:

Rectángulo de 5x8

Rectángulo de 4x10

Hay muchas formas diferentes de cubrir estos rectángulos. Sin embargo, los rectángulos de 4x10 y 5x8 poseen propiedades distintas:[9]

• El rectángulo de 5x8 se puede cubrir de 99.392 maneras diferentes usando 2 juegos completos de tetrominós libres (todos distintos). Contando solo una vez las soluciones conectadas por simetrías y asumiendo que los tetrominós iguales no son distinguibles, el número desciende a 783. Solo hay 13 soluciones fundamentales que son simétricas bajo una rotación de 180 grados. No hay soluciones con simetría de arriba hacia abajo o de derecha a izquierda.
• El rectángulo de 4x10 se puede cubrir de 57.472 formas diferentes. Suponiendo que los tetrominós iguales no son distinguibles, el número desciende a 449. En este caso, no hay soluciones simétricas.

Del mismo modo, dos juegos de tetrominós unilaterales se pueden ajustar a un rectángulo en más de una forma. Si se repiten estos rectángulos en una fila, cualquier número par de juegos completos de cualquier tipo puede caber en un rectángulo.[10]

Los tetracubos correspondientes de dos juegos completos de tetrominós libres también pueden acomodarse en paralelepípedos de 2x4x5 y de 2x2x10:

Caja de 2x4x5

  capa 1     :      capa 2

Z Z T t I    :    l T T T i
L Z Z t I    :    l l l t i
L z z t I    :    o o z z i
L L O O I    :    o o O O i

Caja de 2x2x10

      layer 1          :          layer 2

L L L z z Z Z T O O    :    o o z z Z Z T T T l
L I I I I t t t O O    :    o o i i i i t l l l

Cada uno de los cinco tetrominós libres tiene un tetracubo correspondiente, que es el tetrominó extruido con una unidad de altura. J y L son el mismo tetracubo, al igual que S y Z, porque uno puede rotarse alrededor de un eje paralelo al plano del tetrominó para formar el otro. Tres tetracubos más son posibles, todos creados al colocar un cubo unidad en el tricubo doblado en forma de L:

• Tornillo derecho: cubo unidad colocado sobre la parte superior del lado derecho de la L. Quiral en 3D. (Marcado con la letra D en los diagramas siguientes).
• Tornillo izquierdo: cubo unidad colocado en la parte superior del lado contrario a las agujas del reloj. Quiral en 3D. (Letra S en los diagramas).
• Rama: cubo unidad colocado sobre la esquina. No es quiral en 3D. (Letra B en los diagramas).

Juegos completos de tetrominós y tetracubos empaquetados en cuboides, que se muestran explotados para mayor claridad:

1. 2×4×5	tetrominós libres, con el segundo conjunto coloreado más oscuro
2. 2×2×10	tetrominós libres, con el segundo conjunto coloreado más oscuro
3. 2×4×4	tetracubos
4. 2×2×8	tetracubos
5. 2×2×7	tetracubos, considerando tetracubos quirales idénticos

En 3D, estos ocho tetracubos (supóngase que cada pieza consta de cuatro cubos, L y J son iguales, Z y S también) pueden caber en una caja de 4×4×2 u 8×2×2. La siguiente es una de las soluciones. D, S y B representan el tornillo derecho, el tornillo izquierdo y la rama, respectivamente:

Caja de 4 × 4 × 2:

capa 1   :   capa 2

S T T T  :  S Z Z B
S S T B  :  Z Z B B
O O L D  :  L L L D
O O D D  :  I I I I

Caja de 8×2×2:

    capa 1      :      capa 2

D Z Z L O T T T : D L L L O B S S
D D Z Z O B T S : I I I I O B B S

Si los pares quirales (D y S) se consideran idénticos, las siete piezas restantes pueden llenar una caja de 7 × 2 × 2. (C representa D o S.)

   capa  1    :     capa 2

L L L Z Z B B : L C O O Z Z B
C I I I I T B : C C O O T T T

• Cubo Soma

• Vadim Guerásimov, "Tetris: the story."; The story of Tetris
• The Father of Tetris (Archivo web copia de la página aquí)