Valor absoluto ultramétrico

${\displaystyle |e|=|e.e|=|e|.|e|}$

${\displaystyle |e|=|e|.|e|}$

${\displaystyle |e|}$

${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle 0}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle |e|\neq 0}$

${\displaystyle |e|=1}$

Asimismo, ${\displaystyle |e|=|-e.-e|=|-e|.|-e|}$, de ahí que ${\displaystyle |-e|^{2}=1}$. Como además el valor absoluto solo toma valores positivos, se tiene que ${\displaystyle |-e|=1}$.

Finalmente, ${\displaystyle |-x|=|-e.x|=|-e|.|x|=1.|x|=|x|}$ y, por lo tanto, ${\displaystyle |-x|=|x|}$.[1]

${\displaystyle |a|\neq |b|}$

${\displaystyle |a|<|b|}$

${\displaystyle |b|=|(b+a)+(-a)|\leq \max(|b+a|,|-a|)}$

${\displaystyle |-a|=|a|}$

${\displaystyle |b|\leq \max(|b+a|,|a|)}$

Como ${\displaystyle |a|}$ es por hipótesis estrictamente menor que ${\displaystyle |b|}$, esta desigualdad solo se puede verificar si ${\displaystyle |b|\leq |b+a|}$.

Volviendo a aplicar la desigualdad ultramétrica, se tiene que ${\displaystyle |b+a|\leq \max(|b|,|a|)=|b|}$.

Al reunir estos dos resultados, resulta que ${\displaystyle |b|\leq |b+a|\leq |b|}$, lo que prueba que ${\displaystyle |a+b|=|b|=\max(|a|,|b|)}$.[1]