Cálculo de variaciones

¿Cuál es el área máxima A que puede rodearse con una curva de longitud L dada? Si no existen restricciones adicionales, la solución es:

${\displaystyle A={\frac {L^{2}}{4\pi }}}$

Que es el valor que se obtiene para un círculo de radio ${\displaystyle R=L/2\pi }$.

Si se imponen restricciones adicionales la solución es diferente. Un ejemplo es si suponemos que L se considera sobre una función ${\displaystyle f(x)}$ y los extremos de las curva están sobre los puntos ${\displaystyle A=(a,0),B=(b,0)}$ donde la distancia entre ellos está dada. Es decir ${\displaystyle AB=L\,}$. El problema de hallar una curva que maximice el área entre ella y el eje x sería, hallar una función ${\displaystyle f(x)}$ de modo que:

${\displaystyle \max _{f:[a,b]\to \mathbb {R} }I[f]=\int _{a}^{b}f(x)dx}$

con las restricciones:

${\displaystyle {\begin{cases}G[f]=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}dx=L&{\mbox{longitud de arco}}\\f(a)=f(b)=0\end{cases}}}$

El problema de la curva braquistócrona se remonta a J. Bernoulli (1696). Se refiere a encontrar una curva en el plano cartesiano que vaya del punto ${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$ al origen de modo que un punto material que se desliza sin fricción sobre ella tarda el menor tiempo posible en ir de ${\displaystyle P}$ al origen. Usando principios de mecánica clásica el problema puede formularse como,

${\displaystyle \min _{f}T[f]=\int _{0}^{x_{0}}{\frac {\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}{\sqrt {2g(y_{0}-y)}}}\ dx}$

donde g es la gravedad y las restricciones son, ${\displaystyle f(0)=0}$, ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}$. Hay que notar que en ${\displaystyle x=x_{0}}$ existe una singularidad.

La fundamentación rigurosa del cálculo de variaciones requiere considerar variedades diferenciales lineales de dimensión infinita. De hecho el punto de partida del cálculo de variaciones es un teorema de análisis funcional que prueba que es posible considerar una curva en un espacio funcional (e.g. trayectoria en el espacio fásico) simplemente como una función con una variable adicional, concretamente:[3]

El teorema anterior puede aplicarse por ejemplo al principio de mínima acción donde trata de encontrarse la trayectoria posible en el espacio de fases que hace mínima la integral de acción. Dicha trayectoria es una curva suave en el espacio de trayectorias E, considerando ahora:

${\displaystyle E=C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n}),\quad F=G=\mathbb {R} }$

Se tiene que el problema de minimización puede reducirse a minimizar una cierta función real f de variable real:

${\displaystyle f_{q_{0}}(\varepsilon ):=S[q_{0}+\varepsilon \delta q],\qquad S:\mathbb {C} ^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {R} ,\ S[q]:=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}(q(t),{\dot {q}}(t),t)\ dt,\ q(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$

Un problema variacional requiere que el funcional ${\displaystyle \scriptstyle J(f)}$ esté definido sobre un espacio de Banach ${\displaystyle \scriptstyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ adecuado. La norma vectorial de dicho espacio es lo que permite definir rigurosamente si una solución es un mínimo o un máximo relativo. Por ejemplo una función ${\displaystyle \scriptstyle f_{0}}$ es un mínimo relativo si existe un cierto ${\displaystyle \scriptstyle \delta >0}$ tal que, para toda función ${\displaystyle \scriptstyle f}$ se cumpla que:

${\displaystyle \|f-f_{0}\|<\delta \quad \Rightarrow \quad J(f_{0})\leq J(f)}$

• A. Kriegl y P. W. Michor: "Aspects of the theory of inifinite dimensional manifolds", Differential Geometry and its Applications, 1, 1991, pp. 159-176.
• Leonida Tonelli: Fondamenti di calcolo delle variazioni, N. Zanichelli, 1921-23
• Todhunter, I. A history of the calculus of variations, Chelsea, 1861
• Carll, L. B. A Treatise On The Calculus Of Variations John Wiley & sons, 1881
• Hancock, H. Lectures on the calculus of variations (the Weierstrassian theory) Cincinnati University Press, 1904
• Bolza, O Lectures on the calculus of variations, Chicago University Press, 1904
• Byerly, W. E. Introduction to the calculus of variations Harvard University Press, 1917
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• Hadamard J. e Fréchet, M. Leçons sur le calcul des variations (francese) Hermann, 1910
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• Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1 – 98
• Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987
• Giuseppe Buttazzo, Gianni Dal Maso, Ennio De Giorgi. Variazioni, calcolo delle, Enciclopedia del Novecento, II Supplemento (1998), Istituto dell'Enciclopedia italiana Treccani
• Gianni Dal Maso, Variazioni, calcolo delle, Enciclopedia della Scienza e della Tecnica, (2007), Istituto dell'Enciclopedia italiana Treccani

• Cambios acumulados de esfuerzos de Coulomb.