Semivida de eliminación

En medicina y farmacología, la semivida de eliminación, vida media de un fármaco (o cualquier agente xenobiótico) en la sangre, es el tiempo que tarda en eliminarse el 50% de la concentración plasmática alcanzada por una dosis del mismo, es decir, el lapso necesario para que la cantidad de agente presente en el cuerpo (o en el plasma sanguíneo) se reduzca a la mitad, mediante diversos procesos de eliminación. Es un parámetro fundamental para conocer los intervalos de aplicación de dicho fármaco.

La semivida de eliminación es un parámetro importante usado en farmacocinética y se denota como ${\displaystyle t_{1 \over 2}\,}$.

Sin embargo, es un término mal usado y enseñado en países hispanos, por una mala traducción. Y es que el concepto vida media (mean life en inglés) es distinto al de semivida (half life en inglés). Vida media se define como el tiempo que ha de pasar de media para que el fármaco se elimine por completo mientras que semivida se define como el tiempo que ha de pasar para que el fármaco se elimine a la mitad de sus valor original. Matemáticamente, se explicará en secciones posteriores como se calcula la semivida ${\displaystyle t_{1 \over 2}\,}$, pero ahora se explicará como calcular la vida media de un fármaco.

Supongamos que tenemos N fármacos del mismo tipo y queremos saber cuánto tiempo ha de pasar de media para que la concentración del fármaco se haga cero. Imaginemos que tenemos entonces N tiempos ${\displaystyle t_{N}\,}$ los cuales por fluctuaciones estadísticas no tienen por qué ser iguales todos ellos.

Para hacer la media de forma discreta:

${\displaystyle \tau ={\frac {\sum _{i=1}^{N}t_{i}}{\sum _{i=1}^{N}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}t_{i}dN}{\sum _{i=1}^{N}dN}}\,}$

Si ahora lo pasamos a forma continua, podemos expresar la anterior mediante integrales:

${\displaystyle \tau ={\frac {\int _{N_{o}}^{0}tdN}{\int _{N_{o}}^{0}dN}}\,}$

Donde los límites de integración están dados por el simple hecho de que el fármaco empieza con un valor inicial ${\displaystyle N_{o}\,}$ y terminará totalmente eliminado. Así, recordando la fórmula

${\displaystyle N=N_{o}e^{-\lambda t}\rightarrow dN=-N_{o}\lambda e^{-\lambda t}dt\,}$

${\displaystyle \tau ={\frac {\int _{0}^{\infty }te^{-\lambda t}dt}{\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda t}dt}}\,}$

Por lo que tenemos dos integrales, una en el numerador y otra en el denominador. La integral del denominador es inmediata,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-\lambda t}dt={\frac {1}{\lambda }}\,}$

Mientras, la integral del denominador se debe realizar por partes tal que

${\displaystyle u=t\rightarrow du=dt\,}$

${\displaystyle dv=e^{-\lambda t}dt\rightarrow v=-{\frac {1}{\lambda }}e^{-\lambda t}\,}$

Así, usando ${\displaystyle uv-v\int du\,}$:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }te^{-\lambda t}dt=[-{\frac {t}{\lambda }}e^{-\lambda t}+{\frac {1}{\lambda }}\int e^{-\lambda t}dt]_{0}^{\infty }=[-{\frac {t}{\lambda }}e^{-\lambda t}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}e^{-\lambda t}]_{0}^{\infty }={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\,}$

Por lo tanto tenemos que:

${\displaystyle \tau ={\frac {\frac {1}{\lambda ^{2}}}{\frac {1}{\lambda }}}={\frac {1}{\lambda }}\,}$

Finalmente, para resumir vida media sería:

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda }}\,}$

Y semivida:

${\displaystyle \tau ={\frac {ln(2)}{\lambda }}=ln(2)\tau \,}$

En términos farmacocinéticos podríamos decir entonces que mientras la semivida es el tiempo transcurrido hasta que el fármaco llega a la mitad de sus valores iniciales, la vida media podría representar el tiempo transcurrido hasta que el fármaco llega a un ${\displaystyle 37\%\,}$ de sus valores iniciales dándonos cuenta que:

${\displaystyle N=N_{o}e^{-\lambda t}]_{t={\frac {1}{\lambda }}}=N_{o}e^{-1}\rightarrow {\frac {N(t=\tau )}{N_{o}}}=e^{-1}\approx 0,37\,}$