Effet de peau

On considère un cylindre de rayon a et de longueur infinie. On se place en régime harmonique, le cylindre étant parcouru par un courant alternatif sinusoïdal de pulsation ω. L'étude en régime harmonique se fait en prenant la transformée de Fourier des équations de Maxwell.

L'équation de Maxwell-Faraday en régime harmonique s'écrit :

${\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {E} =-i\,\omega \,\mathbf {B} }$

L'équation de Maxwell-Ampère s'écrit :

${\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {H} =\mathbf {J} }$

dans lesquelles

• E est le vecteur champ électrique
• B est le vecteur induction magnétique
• H est le vecteur champ magnétique
• J est le vecteur densité de courant

Il faut adjoindre à ces équations la loi de magnétisation du matériau

${\displaystyle \mathbf {B} =\mu \,\mathbf {H} }$

μ étant la perméabilité magnétique absolue du matériau, ainsi que la loi d'Ohm dans le conducteur, sous sa forme locale :

${\displaystyle \mathbf {J} =\sigma \,\mathbf {E} }$

σ étant la conductivité électrique du matériau.

Faisant l'hypothèse que le conducteur est homogène, ces deux paramètres μ et σ sont constants dans le matériau, ce qui permet de multiplier l'équation de Maxwell-Faraday par la conductivité électrique

${\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {J} =-i\,\omega \,\sigma \,\mathbf {B} }$

et de même, l'équation de Maxwell-Ampère peut être multipliée par la perméabilité magnétique

${\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {B} =\mu \,\mathbf {J} }$

On se place dans un système de coordonnées cylindriques dont les variables seront notées (r, θ, z), z étant l'axe de symétrie du cylindre.

Dans ce système de coordonnées, on fait les hypothèses suivantes sur la densité de courant :

• le vecteur densité de courant est dirigé suivant l'axe du cylindre ;
• la densité de courant ne varie pas suivant l'axe du cylindre ;
• la densité de courant est parfaitement axisymétrique, elle ne dépend donc pas de l'angle θ.

Ces hypothèses amènent à écrire le vecteur densité de courant sous la forme suivante :

${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{pmatrix}0\\0\\j(r)\end{pmatrix}}}$

Si l'on prend le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday, on trouve :

${\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathrm {rot} \,\mathbf {J} =-i\,\omega \,\sigma \,\mathrm {rot} \,\mathbf {B} }$

soit, en utilisant une relation d'analyse vectorielle

${\displaystyle \nabla \,\mathrm {div} \,\mathbf {J} -\Delta \mathbf {J} =-i\,\omega \,\sigma \,\mu \,\mathbf {J} }$

Étant données les hypothèses faites sur le vecteur densité de courant, on a ${\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {J} =0}$, et donc

${\displaystyle \Delta \mathbf {J} =i\,\omega \,\sigma \,\mu \,\mathbf {J} }$

En coordonnées cylindriques, la composante axiale du Laplacien s'écrit :

${\displaystyle {\frac {d^{2}\,j}{dr^{2}}}(r)+{\frac {1}{r}}\,{\frac {d\,j}{dr}}(r)=i\,\omega \,\sigma \,\mu \,j(r)}$

En posant ${\displaystyle k^{2}=i\,\omega \,\sigma \,\mu }$ et en multipliant par r², la densité de courant doit vérifier l'équation aux limites suivante :

${\displaystyle r^{2}\,{\frac {d^{2}\,j}{dr^{2}}}(r)+r\,{\frac {d\,j}{dr}}(r)-r^{2}\,k^{2}\,j(r)=0}$

Si l'on effectue le changement de variable ${\displaystyle \xi =i\,k\,r}$, l'équation précédente se met sous la forme d'une équation de Bessel homogène :

${\displaystyle \xi ^{2}\,{\frac {d^{2}\,j}{d\xi ^{2}}}(\xi )+\xi \,{\frac {d\,j}{d\xi }}(\xi )+\xi ^{2}\,j(\xi )=0}$

Afin d'assurer la continuité du courant en r = 0, on recherche des solutions de cette équation sous la forme ${\displaystyle J_{0}(\xi )}$, J₀ étant la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 0. Ainsi, on aura :

${\displaystyle j(r)=j_{0}\,J_{0}(i\,k\,r)}$

j₀ étant une constante. On peut par ailleurs détailler la constante k

${\displaystyle k={\sqrt {i}}\,{\sqrt {\omega \,\sigma \,\mu }}={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\,{\sqrt {\omega \,\sigma \,\mu }}={\frac {1+i}{\delta }}}$

δ étant l'épaisseur de peau précédemment définie par ${\displaystyle \delta ={\sqrt {\frac {2}{\omega \,\sigma \,\mu }}}}$,

et de même

${\displaystyle i\,k={\frac {-1+i}{\delta }}=e^{i\,3\,\pi /4}\,{\frac {\sqrt {2}}{\delta }}}$

et donc, finalement, la densité de courant est donnée par

${\displaystyle {\begin{matrix}j(r)&=&j_{0}\,J_{0}(e^{i\,3\,\pi /4}\,{\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})\\&=&j_{0}\,({\textrm {ber}}({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,{\textrm {bei}}({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }}))\end{matrix}}}$

où ber et bei sont les fonctions de Kelvin-Bessel d'ordre 0.

Le courant total à travers la section est alors défini par :

${\displaystyle {\begin{matrix}I&=&\int _{0}^{a}j(r)\,2\,\pi \,r\,dr\\&=&2\,\pi \,j_{0}\int _{0}^{a}J_{0}(e^{i\,3\,\pi /4}\,{\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})\,r\,dr\\&=&\pi \,\delta ^{2}\,j_{0}\,\int _{0}^{{\sqrt {2}}\,a/\delta }(ber(x)+i\,bei(x))\,x\,dx\end{matrix}}}$

Notons Ber et Bei les primitives suivantes, qui peuvent s'évaluer au moyen d'une série :

${\displaystyle {\textrm {Ber}}(x)=\int _{0}^{x}ber(w)\,w\,dw\qquad {\mbox{ et }}\qquad {\textrm {Bei}}(x)=\int _{0}^{x}bei(w)\,w\,dw}$

Avec ces notations, on peut alors exprimer le courant total sous une forme plus compacte

${\displaystyle I=\pi \,\delta ^{2}\,j_{0}\,\left({\textrm {Ber}}({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})+i\,{\textrm {Bei}}({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})\right)}$

On peut calculer de même le courant circulant dans l'épaisseur comprise entre la surface et le rayon r :

${\displaystyle {\begin{matrix}I(r)&=&\int _{a-r}^{a}j(s)\,2\pi s\,ds\\&=&\pi \,\delta ^{2}\,j_{0}\,\left({\textrm {Ber}}({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-{\textrm {Ber}}({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,[{\textrm {Bei}}({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-{\textrm {Bei}}({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})]\right)\end{matrix}}}$

et donc finalement la fonction de répartition du courant ayant pour origine r = 0 la surface du conducteur est donnée par l'expression suivante :

${\displaystyle {\frac {I(r)}{I}}={\frac {{\textrm {Ber}}({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-{\textrm {Ber}}({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,[{\textrm {Bei}}({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-{\textrm {Bei}}({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})]}{{\textrm {Ber}}({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})+i\,{\textrm {Bei}}({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})}}}$