Équation de Killing

L'équation de Killing est l'équation fondamentale satisfaite par un vecteur de Killing.

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Elle énonce qu'un champ de vecteurs ${\displaystyle \xi }$ défini sur une variété riemannienne est un vecteur de Killing si la dérivée de Lie de la métrique riemannienne ${\displaystyle g}$ est nulle :

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi }g=0\,}$.

En termes de composantes dans un système de coordonnées donné, cette équation s'écrit :

${\displaystyle D_{a}\xi _{b}+D_{b}\xi _{a}=0\,}$,

où D représente la dérivée covariante compatible avec la métrique.

Cette équation peut se réécrire en utilisant la forme symétrisée :

${\displaystyle D_{(a}\xi _{b)}=0\,}$.

Elle peut alors être généralisée à un tenseur d'ordre arbitraire, appelé tenseur de Killing.