Variété riemannienne

Une variété riemannienne est la donnée d'une variété différentielle ${\displaystyle M}$ et, en chaque point ${\displaystyle m}$, d'une forme quadratique définie positive ${\displaystyle g_{m}}$ sur l'espace tangent ${\displaystyle T_{m}M}$ avec des hypothèses de régularité supplémentaires. Les espaces tangents ${\displaystyle (T_{m}M,g_{m})}$ sont des espaces euclidiens. Les hypothèses de régularité s'énoncent de deux manières équivalentes :

1. L'application ${\displaystyle m\mapsto g_{m}}$ est une section globale de classe C^k du fibré vectoriel ${\displaystyle S^{2}T^{*}M}$ ;
2. Pour tous champs de vecteurs ${\displaystyle X,Y}$ de ${\displaystyle M}$, l'application ${\displaystyle m\mapsto g_{m}(X_{m},Y_{m})}$ est de classe C^k.

La donnée ${\displaystyle g}$ est appelée métrique riemannienne sur ${\displaystyle M}$.

Les métriques riemanniennes existent sur toute variété différentielle (paracompacte) et forment un cône convexe fermé de ${\displaystyle \Gamma S^{2}T^{*}M}$ (avec des topologies raisonnables).

Si ${\displaystyle (M,g_{1})}$ et ${\displaystyle (N,g_{2})}$ sont deux variétés riemanniennes, une isométrie locale ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ est une application différentiable vérifiant ${\displaystyle f^{*}g_{2}=g_{1}}$. Autrement dit, les différentielles ${\displaystyle df(x):T_{x}M\rightarrow T_{f(x)}N}$ sont des applications linéaires isométriques. Par le théorème d'inversion locale, toute isométrie locale est un difféomorphisme local.

Une isométrie (globale) est une isométrie locale bijective.

Les variétés riemanniennes sont les exemples les plus élémentaires de variétés de Finsler. Une métrique riemannienne ${\displaystyle g}$ sur une variété différentielle connexe ${\displaystyle M}$ définit sur chaque espace tangent une norme euclidienne, donnée par :

${\displaystyle \|v\|={\sqrt {g(v,v)}}}$

La longueur d'une courbe C¹ par morceaux γ : [a, b] → M est définie par :

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}\|\gamma '(t)\|\;\mathrm {d} t.}$

• La longueur d'une courbe est invariante par reparamétrage régulier.
• La longueur du concaténé de deux courbes C¹ par morceaux est la somme des longueurs.

Pour ${\displaystyle x,y\in M}$, on définit :

${\displaystyle \mathrm {d} (x,y)=\inf L(\gamma )}$

où l'infimum porte sur toutes les courbes C¹ par morceaux d'origine ${\displaystyle x}$ et d'extrémité ${\displaystyle y}$.

Comme les notations le suggèrent, d est une distance sur ${\displaystyle M}$ appelée distance riemannienne. Il est à remarquer que cette dernière redéfinit la topologie de ${\displaystyle M}$.

Comme la n-sphère se plonge dans l'espace ℝⁿ⁺¹, sa métrique riemannienne est la métrique induite par la distance usuelle. Sur la n-sphère centrée en O et de rayon R, deux points A et B ont pour distance riemannienne (ou géodésique) la longueur ${\displaystyle R\theta }$ de l'arc de grand cercle qui les relie, où ${\displaystyle \theta =\arccos {\vec {OA}}.{\vec {OB}}/R^{2}}$.

Disque de Poincaré : l'espace hyperbolique ${\displaystyle (H^{n},g)}$ est la boule unité de ℝⁿ, munie de la métrique :

${\displaystyle g=4\sum _{i=1}^{n}{\frac {\mathrm {d} x_{i}^{2}}{\left(1-\left\|x\right\|^{2}\right)^{2}}}}$

Modèle de Klein : l'espace hyperbolique est aussi représenté par la boule unité, mais la métrique est différente :

${\displaystyle g={\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathrm {d} x_{i}\right)^{2}}{\left(1-\left\|x\right\|^{2}\right)^{2}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\mathrm {d} x_{i}^{2}}{1-\left\|x\right\|^{2}}}}$

Dans ce modèle, les droites de l'espace hyperbolique sont des segments de la boule unité, contrairement au modèle de Poincaré, mais les angles ne sont pas conservés.

Demi-plan de Poincaré : ce modèle de l'espace hyperbolique est donné par la métrique définie sur le demi-espace supérieur ${\displaystyle \mathbb {R} _{*}^{+}\times \mathbb {R} ^{n-1}}$ :

${\displaystyle g=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\mathrm {d} x_{i}^{2}}{x_{1}^{2}}}}$

Une isométrie explicite du disque unité sur le demi-plan supérieur est donnée par l'inversion de pôle ${\displaystyle t=(-1,0,\dots ,0)}$ :

${\displaystyle x\mapsto t+2{\frac {x-t}{\left\|x-t\right\|^{2}}}}$

Remarque : l'espace hyperbolique ${\displaystyle H^{2}}$ intervient en arithmétique, domaine dans lequel on utilise habituellement le modèle du demi-plan supérieur. Toutefois, en géométrie, les goûts sont très largement partagés : le modèle du disque de Poincaré offre l'avantage d'un meilleur graphisme dans les figures. Il existe d'autres modèles (comme le modèle de l'hyperboloïde), peu utilisés en pratique.

Sur une variété riemannienne ${\displaystyle (M,g)}$, il existe une unique connexion sans torsion D telle que, pour tous champs de vecteurs ${\displaystyle X,Y,Z}$ :

${\displaystyle X.g(Y,Z)=g(D_{X}Y,Z)+g(Y,D_{X}Z).}$

Cette connexion est appelée la connexion de Levi-Civita de ${\displaystyle (M,g)}$, ou la connexion canonique. Ce résultat constitue le théorème fondamental de la géométrie riemannienne.

Si ${\displaystyle f:N\rightarrow M}$ est une application différentiable, un champ de vecteurs le long de f est une section globale du fibré vectoriel ${\displaystyle f^{*}TM}$, soit donc une application ${\displaystyle X:N\rightarrow TM}$ telle que, pour tout point ${\displaystyle n\in N}$, on a : ${\displaystyle X(n)\in T_{f(n)}M}$. On note ${\displaystyle \Gamma \left[f^{*}TM\right]}$ l'espace des champs de vecteurs le long de ${\displaystyle f}$.

Les géodésiques d'une variété riemanienne vérifient l'équation différentielle suivante :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}+\sum _{j,k}\Gamma _{jk}^{i}{\frac {\mathrm {d} x^{j}}{dt}}{\frac {\mathrm {d} x^{k}}{dt}}=0}$

Les propriétés suivantes sont équivalentes :

• pour tout point ${\displaystyle m}$, l'application exp_m est définie sur ${\displaystyle T_{m}M}$ ;
• la variété ${\displaystyle (M,g)}$ est géodésiquement complète, c'est-à-dire que les géodésiques sont définies sur ℝ ;
• l'espace ${\displaystyle M}$ est complet pour la distance riemannienne ;
• les boules fermées et bornées sont compactes.

• (en) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin (en) et Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry [détail de l’édition]
• (en) Jürgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, 2002 [détail des éditions]
• (en) Gerard Walschap, Metric Structures in Differential Geometry, Springer
• (en) John M. Lee (en), Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, coll. « GTM » (n^o 176), 1997 (lire en ligne)

Pierre Pansu, Cours de géométrie différentielle, niveau Master 2

• Variété pseudo-riemannienne
• Variété sous-riemannienne (en)
• Surface de Zoll

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