Espace topologique

Un espace topologique est un couple (E, T), où E est un ensemble et T une topologie sur E, à savoir un ensemble de parties de E — que l'on appelle les ouverts de (E, T) — vérifiant les propriétés suivantes :

1. l'ensemble vide et E appartiennent à T[note 1] ;
2. toute réunion quelconque d'ouverts est un ouvert, c'est-à-dire que si (O_i)_i∈I est une famille d'éléments de T, indexée par un ensemble I quelconque (pas nécessairement fini, ni même dénombrable) alors${\displaystyle \bigcup _{i\in I}O_{i}\in T}$ ;
3. toute intersection finie d'ouverts est un ouvert, c'est-à-dire que si O₁, … , O_n sont des éléments de T alors${\displaystyle O_{1}\cap \ldots \cap O_{n}\in T.}$

Un fermé d'une topologie est défini comme le complémentaire d'un ouvert.

L'adhérence X d'une partie X de E est le plus petit fermé qui contient X.

Pour un point a de E, on appelle alors voisinage de a pour cette topologie n'importe quelle partie de E qui inclut un ouvert qui contient a.

Il résulte de la théorie élémentaire des ensembles qu'une topologie sur E peut aussi être définie par l'ensemble de ses fermés, cet ensemble de parties de E devant vérifier :

1. les ensembles E et vide sont des fermés ;
2. toute intersection quelconque de fermés est un fermé ;
3. toute réunion finie de fermés est un fermé.

Dans un espace topologique, les adhérences vérifient les propriétés :

${\displaystyle X\subset {\overline {X}},\quad {\overline {\overline {X}}}={\overline {X}},\quad {\overline {X\cup Y}}={\overline {X}}\cup {\overline {Y}}\quad {\rm {et}}\quad {\overline {\varnothing }}=\varnothing }$.

Inversement, étant donné un ensemble E, toute application   de l'ensemble P(E) des parties de E dans lui-même qui vérifie ces quatre propriétés (appelées axiomes de fermeture de Kuratowski) permet de définir sur E une topologie dont   est l'application adhérence[1], en décrétant que les fermés de cette topologie sont les X tels que X = X.

En effet, les axiomes 1 et 3 de la définition par les fermés ci-dessus sont alors trivialement satisfaits, et l'axiome 2 l'est aussi car l'application   est un opérateur de préclôture donc croissant, ce qui permet de montrer que l'intersection X de toute famille de fermés X_i est fermée : pour tout i, de X ⊂ X_i on déduit X ⊂ X_i = X_i, d'où l'inclusion de X dans X et donc l'égalité. Ainsi, on a défini une topologie, dont   est bien l'application adhérence (d'après la croissance et le deuxième axiome de Kuratowski).

Par ailleurs, les axiomes de fermeture de Kuratowski sont équivalents à[2]^,[3] :

${\displaystyle {\overline {\varnothing }}=\varnothing ,\quad X\subset {\overline {X}},\quad {\overline {X\cup Y}}\subset {\overline {X}}\cup {\overline {Y}}\quad {\rm {et}}\quad X\subset {\overline {Y}}\Rightarrow {\overline {X}}\subset {\overline {Y}}}$.

Définir une topologie par une application adhérence revient[4]^,[note 2] à se donner une relation « adhère à » entre les points de E et ses parties, telle que, pour tout a de E et toutes parties X, Y de E,

1. aucun élément de E n'adhère à l'ensemble vide,
2. tout élément de X adhère à X,
3. si a adhère à X ∪ Y alors a adhère à X ou à Y,
4. si a adhère à X et si tout élément de X adhère à Y, alors a adhère à Y.

Un espace topologique est un couple ${\displaystyle (E,{\mathcal {V}})}$, où E est un ensemble et ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ une application de E vers l'ensemble P(P(E)) obéissant aux cinq conditions ci-après[note 3], dans lesquelles les éléments de ${\displaystyle {\mathcal {V}}(a)}$, pour a ∈ E, sont appelés « voisinages de a », la justification de cette appellation venant juste après cette liste.

Pour tout point a de E :

1. tout sur-ensemble d'un voisinage de a est lui-même voisinage de a ;
2. l'intersection de deux voisinages de a est elle-même un voisinage de a ;
3. E est un voisinage de a ;
4. tout voisinage de a contient a ;
5. pour tout voisinage V de a, il existe un voisinage W de a tel que V soit voisinage de chacun des points de W[note 4].

Il existe alors une et une seule topologie sur E (au sens de la définition ci-dessus par les ouverts) telle que pour tout point a de E, ${\displaystyle {\mathcal {V}}(a)}$ soit égal à l'ensemble des voisinages de a pour cette topologie, c'est-à-dire à l'ensemble des parties de E incluant un ouvert qui contient a.

Les ouverts de cette topologie sont les parties O de E telles que pour tout point a de O, O appartienne à ${\displaystyle {\mathcal {V}}(a).}$

La plupart des notions de topologie, comme la continuité ou la limite, peuvent se définir de manière équivalente et aussi élégante par les ouverts, par les fermés ou par les voisinages.

Un des premiers intérêts de la notion d'espace topologique est de pouvoir définir la continuité des applications. Il existe deux approches, l'approche locale qui définit la continuité en un point, et l'approche globale qui définit la continuité en tout point. Soit f : E → F une application entre deux espaces topologiques.

• Définition locale. Soit a un élément de E. L'application f est dite continue au point a si l'image réciproque de tout voisinage de f(a) est un voisinage de a.
• Définition globale. L'application f est dite continue si l'image réciproque f⁻¹(U) de tout ouvert U de F est un ouvert de E.
  (Il existe des définitions équivalentes, en termes de fermés ou d'adhérences.)
• Équivalence de la continuité en tout point et de la continuité globale : l'application f est continue si et seulement si elle est continue en tout point de E.

Les applications continues sont les morphismes de la catégorie des espaces topologiques. Les isomorphismes de cette catégorie sont appelés les homéomorphismes. Ce sont les bijections continues dont la réciproque est continue.

Soient X un ensemble et Y un espace topologique. La donnée supplémentaire d'une application permet de définir une topologie sur X :

• pour toute application f de X dans Y, on peut définir la topologie initiale liée à f. C'est la topologie sur X la plus grossière rendant f continue.
• de même, pour toute application f de Y dans X, on définit la topologie finale liée à f. C'est la topologie sur X la plus fine rendant f continue. Un exemple est la topologie quotient, lorsque X est le quotient de Y par une relation d'équivalence et f la projection canonique.

On peut généraliser ces deux définitions en remplaçant l'espace Y par une famille d'espaces (Y_i)_i∈I, et l'application f par une famille d'applications (f_i)_i∈I.

La notion de limite en un point, si elle existe, décrit le comportement qu'une fonction « devrait avoir » si elle était définie en ce point.

Soient E et F deux espaces topologiques, A une partie de E, f une application de A dans F, a un point de E adhérent à A et ℓ un point de F. On dit que ℓ est une limite de f au point a si pour tout voisinage V de ℓ, il existe un voisinage W de a tel que pour tout point x de W∩A, l'image f(x) appartient à V.

Remarques

• Si F est séparé alors f possède au plus une limite au point a.
• Si le point a est élément de la partie A, alors f est continue en a si et seulement si f(a) est une limite de f au point a.

Des généralisations de cette notion, permettant par exemple de parler de limites « à l'infini » ou de dire qu'une intégrale est une limite de sommes de Riemann ont été définies ; les plus puissantes utilisent la notion de filtre.