Convergence simple

En mathématiques, la convergence simple ou ponctuelle est une notion de convergence dans un espace fonctionnel, c’est-à-dire dans un ensemble de fonctions entre deux espaces topologiques. C'est une définition peu exigeante : elle est plus facile à établir que d'autres formes de convergence, notamment la convergence uniforme et le passage à la limite possède donc moins de propriétés : une suite de fonctions continues peut ainsi converger simplement vers une fonction qui ne l'est pas.

Exemple : les fonctions continues en vert

f n (x)=sin n (x)

convergent simplement vers la fonction discontinue en rouge.

Convergence simple d'une suite de fonctions

Définition

Soient $X$ un ensemble, $Y$ un espace topologique, et $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite de fonctions définies sur $X$ et à valeurs dans $Y$ .

La suite $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge simplement si

pour tout

x\in X

, la suite

(f_{n}(x))_{n\in \mathbb {N} }

converge dans

Y

.

La suite d'applications $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge simplement vers une application $f:X\to Y$ si

pour tout

x\in X

, la suite

(f_{n}(x))_{n\in \mathbb {N} }

converge vers

f (x)

.

Remarques

L'ensemble de départ $X$ n'est pas supposé muni d'une structure topologique.
Si l'espace d'arrivée $Y$ est supposé séparé, alors l'éventuelle limite simple d'une suite de fonctions à valeurs dans $Y$ est toujours unique.
Si $Y$ est même un espace métrique, c'est-à-dire muni d'une distance $d$ et de la topologie associée, alors on peut traduire la notion de convergence simple en termes de « epsilon » :

Une suite

(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }

de fonctions converge simplement sur

A

vers une fonction

f

si et seulement si

\forall x\in A\quad \forall \varepsilon >0\quad \exists N_{\varepsilon ,x}\in \mathbb {N} \quad \forall n\in \mathbb {N} \quad \left(n\geq N_{\varepsilon ,x}\Rightarrow d(f_{n}(x),f(x))<\varepsilon \right)

.

Topologie de la convergence simple

Définition

L'ensemble des applications de X dans Y est noté $Y X$ . Il existe sur cet ensemble au moins une topologie pour laquelle la convergence des suites de fonctions n'est autre que la convergence simple : la topologie produit, ou topologie de la convergence simple. On peut en décrire une prébase : si l'on note $W (x, V)$ , pour tout point $x$ de $X$ et tout ouvert $V$ de $Y$ , l'ensemble des applications $f$ de $X$ dans $Y$ telles que $f (x)\in V$ , alors l'ensemble de tous les $W (x, V)$ forme une prébase de la topologie produit, c'est-à-dire que les ouverts de $Y X$ sont les réunions quelconques d'intersections finies de parties de la forme $W (x, V)$ .

Remarques

Si l'ensemble $X$ est infini non dénombrable alors $Y X$ (muni de la topologie de la convergence simple) n'est pas métrisable[1], ni même séquentiel[2], donc la convergence des suites de fonctions ne suffit pas à caractériser sa topologie (il faut dans ce cas faire appel aux suites généralisées).
D'après le théorème de Tykhonov, si $Y$ est compact alors $Y X$ aussi.

Propriétés

La convergence simple est un critère de convergence peu contraignant, comme son nom l'indique. Il existe donc moins de propriétés que dans le cas de la convergence uniforme par exemple.

La convergence uniforme entraîne clairement la convergence simple. La réciproque est fausse, comme le montre le contre-exemple illustré graphiquement en début d'article.
La convergence simple ne conserve pas la continuité, comme le montre le même graphique.
Dans le cas où l'ensemble de départ est un espace mesurable et où l'ensemble d'arrivée est le corps des réels alors la convergence simple peut indiquer la convergence pour la norme $L 1$ avec l'ajout de certaines hypothèses décrites dans les articles Théorème de convergence monotone et Théorème de convergence dominée.
Le passage à la limite pour l'intégrale des limites simples a contribué à motiver l'introduction par Henri Lebesgue de sa notion de fonction mesurable. La préservation de l'intégrabilité locale n'est en effet pas vraie au sens de Riemann employé dans le cadre de la théorie de l'intégrale de Riemann.

Notes

Alors que l'espace de Cantor et le cube de Hilbert, produits dénombrables, sont métrisables.
Sauf bien sûr si la topologie sur $Y$ est grossière.

Voir aussi

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[1] Alors que l'espace de Cantor et le cube de Hilbert, produits dénombrables, sont métrisables.

[2] Sauf bien sûr si la topologie sur $Y$ est grossière.