Théorème de convergence monotone

En mathématiques, le théorème de convergence monotone (ou théorème de Beppo Levi) est un résultat de la théorie de l'intégration de Lebesgue.

Il permet de démontrer le lemme de Fatou et le théorème de convergence dominée.

Ce théorème indique que pour une suite croissante de fonctions mesurables positives on a toujours la convergence de la suite de leurs intégrales vers l'intégrale de la limite simple.

Le théorème autorise donc, pour une telle suite de fonctions, à intervertir les symboles et . De façon équivalente, il permet, pour une série de fonctions mesurables positives, de permuter les symboles et .

Énoncé

Théorème de convergence monotone/Beppo Levi  Soit un espace mesuré. Pour toute suite croissante de fonctions mesurables positives sur (à valeurs dans [0, +∞]), sa limite simple est mesurable et l'on a :

.

Comme corollaire important, si les intégrales sont toutes majorées par un même réel, alors la fonction est intégrable, donc finie presque partout, et l'on peut exprimer le résultat en disant que la suite converge vers pour la norme L1.

On peut aussi exprimer le théorème en utilisant, au lieu d'une suite croissante, une série de fonctions mesurables à valeurs positives ou nulles. Le théorème dit que l'on a toujours

Le corollaire se traduit alors par : si la série des intégrales converge, alors la série des est intégrable donc finie presque partout, c'est-à-dire que pour presque tout , la série converge.

Histoire

Au début du XXe siècle, une nouvelle théorie de l'intégration apparaît sous la forme d'un article de Lebesgue, « Sur une généralisation de l'intégrale définie », publié dans les Comptes Rendus du . Cet article fascine rapidement la communauté mathématique. En 1906, le mathématicien italien Beppo Levi (1875-1961) démontre le théorème de la convergence monotone qui porte en conséquence parfois le nom de théorème de Beppo Levi.

Remarques

Séries doubles

Dans le cas particulier où l'espace mesuré est muni de la tribu discrète et de la mesure de comptage, on retrouve le théorème d'interversion pour les séries doubles à termes positifs.

Intérêt du théorème

L'aspect remarquable de la théorie de Lebesgue est qu'un critère de convergence faible suffit néanmoins sous certaines hypothèses pour assurer une bonne convergence, la convergence dans . Ce résultat est donc indispensable pour l'étude d'espaces de fonctions comme l'espace des séries entières, des fonctions harmoniques ou des espaces de Hardy ou de Sobolev.

Le lemme de Fatou et le théorème de convergence dominée peuvent être établis en utilisant le théorème de convergence monotone. Ce théorème est aussi utilisé pour construire les mesures à densité et pour démontrer le théorème de Fubini.

Non-validité dans le cadre de la théorie de Riemann

Considérons l'exemple suivant : à partir d'une énumération de tous les rationnels compris entre 0 et 1, on définit la fonction (pour tout entier naturel ) comme l'indicatrice de l'ensemble des premiers termes de cette suite de rationnels. La suite croissante des fonctions (positives et d'intégrale de Riemann nulle) converge alors simplement vers l'indicatrice de , qui n'est pas Riemann-intégrable.

Nécessité de l'hypothèse de positivité

L'exemple de la suite de fonctions définies sur par (pour tout entier naturel ) montre que la condition de positivité des est nécessaire.

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