Limite d'une suite

On dit qu'une suite réelle admet pour limite un réel ℓ si :

tout intervalle ouvert qui contient ℓ contient aussi tous les termes de la suite sauf un nombre fini d'entre eux (c.-à-d. contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang).

On dit également qu'elle converge vers ℓ. Si une suite possède une limite réelle, on dit qu'elle est convergente[1] ou qu'elle converge.

La définition précédente se traduit formellement par :

${\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n\in \mathbb {N} \quad (n\geqslant N\Rightarrow |u_{n}-\ell |<\varepsilon )}$[2].

On écrit alors

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }u_{n}=\ell }$ ou plus simplement, quand il n'y a pas ambiguïté, ${\displaystyle \lim u=\ell }$, ou encore ${\displaystyle u\to \ell }$.

De cette définition, on peut déduire que

• quand elle existe, la limite est unique (car les termes de la suite ne peuvent pas se trouver dans deux intervalles disjoints) ;
• toute suite convergente est bornée ;
• une suite encadrée par deux suites convergeant vers la même limite ℓ converge aussi vers ℓ : c'est le théorème des gendarmes.

Les propriétés de complétude de ℝ permettent aussi d'affirmer que

• toute suite monotone bornée est convergente ;
• toute suite de Cauchy est convergente ;
• deux suites adjacentes convergent et ont la même limite.

Exemples de suites convergentes

• La suite ${\displaystyle u}$ définie par ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad u_{n}={1 \over n}}$ converge vers 0 ; on note donc ${\displaystyle u\to 0}$.
• Si ${\displaystyle |q|<1}$ alors la suite ${\displaystyle ({q^{n}})_{n\in \mathbb {N} }}$ converge vers 0.
• Si ${\displaystyle |q|<1}$ alors la suite ${\displaystyle \left({1-q^{n} \over {1-q}}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ (somme des termes de la suite géométrique de raison q) converge vers ${\displaystyle {\frac {1}{1-q}}}$.

On dit qu'une suite réelle diverge si elle ne converge pas[1]. Une suite divergente peut soit avoir une limite infinie, soit n'avoir aucune limite.

On dit qu'une suite tend vers +∞ si tout intervalle de la forme ]A, +∞[ contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini d'entre eux (c.-à-d. contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang).

Cette définition se traduit formellement par :

${\displaystyle \forall A\in \mathbb {R} \quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n\in \mathbb {N} \quad (n\geqslant N\Rightarrow u_{n}>A)}$.

On écrit alors

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }u_{n}=+\infty }$ ou plus simplement, quand il n'y a pas ambiguïté, ${\displaystyle \lim u=+\infty }$ ou ${\displaystyle u\rightarrow +\infty }$.

On dit qu'une suite tend vers –∞ si tout intervalle de la forme ]–∞, A[ contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini d'entre eux.

Cette définition se traduit formellement par :

${\displaystyle \forall A\in \mathbb {R} \quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n\in \mathbb {N} \quad (n\geqslant N\Rightarrow u_{n}<A)}$.

On écrit alors

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }u_{n}=-\infty }$ ou plus simplement, quand il n'y a pas ambiguïté ${\displaystyle \lim u=-\infty }$ ou ${\displaystyle u\to -\infty }$.

L'exemple fondamental d'une suite tendant vers l'infini est celui de l'inverse d'une suite de signe constant et tendant vers 0 :

• s'il existe N tel que, pour tout n > N, ${\displaystyle u_{n}>0}$ et si ${\displaystyle \lim u=0}$ alors ${\displaystyle \lim {\tfrac {1}{u}}=+\infty }$ ;
• s'il existe N tel que, pour tout n > N, ${\displaystyle u_{n}<0}$ et si ${\displaystyle \lim u=0}$ alors ${\displaystyle \lim {\tfrac {1}{u}}=-\infty }$.

Deux résultats sont assez faciles à obtenir :

• toute suite croissante non majorée tend vers +∞ et toute suite décroissante non minorée tend vers –∞ ;
• toute suite supérieure à une suite tendant vers +∞ tend vers +∞ et toute suite inférieure à une suite tendant vers –∞ tend vers –∞.

Certaines suites réelles ne tendent ni vers un réel, ni vers +∞, ni vers –∞. C'est le cas, par exemple :

• des suites géométriques de raison inférieure ou égale à –1, comme
  • la suite non bornée (1, –2, 4, –8, 16, –32, …), géométrique de raison –2, ou même
  • la suite bornée (1, –1, 1, –1, 1, –1, …), géométrique de raison –1 ;
• d'un certain nombre de suites logistiques au comportement chaotique.

On démontre que les opérations sur les suites convergentes se transmettent à leurs limites pour peu que l'opération ait un sens. Cela signifie que si ${\displaystyle u\rightarrow \ell }$ et si ${\displaystyle v\rightarrow \ell '}$ alors :

• ${\displaystyle (u+v)\rightarrow (\ell +\ell ')}$ ;
• ${\displaystyle (u\cdot v)\rightarrow (\ell \cdot \ell ')}$ ;
• si ${\displaystyle \ell '\neq 0}$, on a ${\displaystyle {\frac {u}{v}}\to {\frac {\ell }{\ell '}}}$.

De plus, si f est une fonction continue en ${\displaystyle \ell }$ et si pour tout ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle f(u_{n})}$ est défini, alors ${\displaystyle f(u)\to f(\ell )}$.

L'intervention de suites tendant vers ±∞ rend les calculs un peu plus compliqués :

• Somme :
  • si une suite converge et l'autre tend vers l'infini, la somme a même limite que la suite tendant vers l'infini ;
  • si les deux suites tendent vers le même infini, il en est de même de leur somme ;
  • si les deux suites tendent vers deux infinis différents, on ne peut pas conclure directement ; on dit alors que l'on a une forme indéterminée.
• Produit : on pourra, à condition qu'une limite existe, appliquer la règle des signes ;
  • si une suite converge vers un réel non nul et l'autre tend vers l'infini, le produit tendra vers un infini dont le signe se détermine par la règle des signes ;
  • si les deux suites tendent vers l'infini, il en sera de même de leur produit ;
  • si l'une des suites tend vers 0 et l'autre vers l'infini, on ne peut pas conclure directement ; c'est une seconde forme indéterminée.
• Inverse :
  • si une suite tend vers l'infini alors son inverse converge vers 0 ;
  • si une suite, de signe constant, converge vers 0 alors son inverse tend vers l'infini

Dans un espace vectoriel normé, on dit qu'une suite ${\displaystyle (u_{n})}$ converge vers ℓ si

${\displaystyle \forall \epsilon \in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n\in \mathbb {N} \quad (n\geqslant N\Rightarrow \|u_{n}-\ell \|<\epsilon )}$.

C'est une généralisation de la limite d'une suite complexe, la norme usuelle dans le plan complexe étant le module.

On écrit alors

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }u_{n}=\ell }$ ou plus simplement, quand il n'y a pas ambiguïté, ${\displaystyle \lim u=\ell }$.

L'unicité de la limite est conservée ainsi que la transmission à la limite de la somme et de la multiplication par un scalaire. Ce n'est que dans un espace vectoriel normé complet que l'on pourra affirmer que toute suite de Cauchy converge.

Dans un espace métrique, on dit qu'une suite ${\displaystyle (u_{n})}$ converge vers ℓ si

${\displaystyle \forall \epsilon \in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n\in \mathbb {N} \quad (n\geqslant N\Rightarrow d(u_{n},\ell )<\epsilon )}$.

On remarque qu'il s'agit de la même définition que dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, au détail près qu'il ne s'agit plus de valeur absolue d'une différence mais de distance.

On écrit alors

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }u_{n}=\ell }$ ou plus simplement, quand il n'y a pas ambiguïté, ${\displaystyle \lim u=\ell }$.

Seule l'unicité de la limite est conservée. Il faudra être dans un espace métrique complet pour pouvoir dire que toute suite de Cauchy converge. Si une opération existe sur l'espace en question, il faudra qu'elle soit continue pour se transmettre à la limite.

Toutes les définitions précédentes se rejoignent dans la définition de la convergence dans un espace topologique.

Soit E un espace muni d'une topologie T.

On dit que la suite ${\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in E^{\mathbb {N} }}$ converge vers ${\displaystyle \ell \in E}$ si, pour tout ouvert O de T contenant l'élément ℓ, il existe un entier naturel N tel que tous les ${\displaystyle u_{n}}$ pour ${\displaystyle n\geqslant N}$ appartiennent à O.

Il suffit que l'espace soit séparé pour pouvoir affirmer que la limite est unique.

Soit ${\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ une suite à valeurs dans un espace métrique E.

Si ${\displaystyle \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,n\mapsto \sigma (n)}$ est une fonction strictement croissante (une telle fonction s'appelle une extractrice), on dit que la suite ${\displaystyle (u_{\sigma (n)})_{n\in \mathbb {N} }}$ est une suite extraite (ou sous-suite) de la suite ${\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$.

Grosso modo, c'est la suite ${\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ pour laquelle on n'a gardé que certains termes (une infinité quand même).

On dit que la valeur ℓ est une valeur d'adhérence de la suite ${\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ s’il existe une suite extraite de ${\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ qui converge vers ℓ.

Pour se faire une idée, une valeur d'adhérence est un élément « près duquel la suite passe souvent », c'est-à-dire qu'aussi loin qu'on aille, on trouvera toujours un terme de la suite près de cet élément.

Propriété 1

Si une suite ${\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ à valeurs dans E converge vers l ∈ E, l est l'unique valeur d'adhérence de ${\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} },}$ c'est-à-dire que toutes les suites extraites ${\displaystyle (u_{\sigma (n)})_{n\in \mathbb {N} }}$ convergent vers l.

Dans le cas où E est un espace compact, on dispose même d'une réciproque. Elle s'applique par exemple à toute suite à valeurs dans un segment de ℝ (autrement dit à toute suite réelle bornée), ou encore à toute suite réelle, en prenant comme compact la droite réelle achevée (dans ce cas, +∞ et –∞ ne sont pas exclus a priori de l'inventaire des valeurs d'adhérence de la suite) :

Propriété 2

Si une suite est à valeurs dans un espace compact E, alors elle admet au moins une valeur d'adhérence dans E, et elle converge si et seulement si elle n'en admet qu'une.

La suite ((–1)ⁿn/n+1) diverge car elle a deux valeurs d'adhérence.

Propriété 3

Une suite ${\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ à valeurs dans E converge vers l ∈ E si et seulement si :

• ${\displaystyle (u_{2n})_{n\in \mathbb {N} }}$ converge vers l et
• ${\displaystyle (u_{2n+1})_{n\in \mathbb {N} }}$ converge vers l.

On voit d'ailleurs bien comment généraliser ce résultat[3] : il suffit que les images des extractrices considérées recouvrent entièrement ℕ (par exemple, ici, ${\displaystyle n\mapsto 2n}$ et ${\displaystyle n\mapsto 2n+1}$), c'est-à-dire que les ensembles (infinis) d'indices des suites extraites utilisées aient pour réunion l'ensemble des naturels.

Remarque

Cette propriété est utile pour démontrer la non-convergence d'une suite ${\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ à valeurs dans E : si

• ${\displaystyle (u_{2n})_{n\in \mathbb {N} }}$ converge vers l₁ et
• ${\displaystyle (u_{2n+1})_{n\in \mathbb {N} }}$ converge vers l₂ avec l₁ ≠ l₂,

alors ${\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ne converge pas.

Exemple

La suite (–1/2, 2/3, –3/4, 4/5, –5/6, …) = ((–1)ⁿn/n+1)_n∈ℕ* (cf. figure) est décomposable en deux sous-suites :

• (–1/2, –3/4, –5/6, …) converge vers –1 ;
• (2/3, 4/5, …) converge vers 1.

Les deux sous-suites convergeant vers des limites différentes, la suite initiale ne converge pas.

Toujours lorsque E est un espace métrique, on dispose du puissant théorème de Bolzano-Weierstrass :

Un espace métrique E est compact si (et seulement si) il est séquentiellement compact, c'est-à-dire si toute suite à valeurs dans E admet au moins une valeur d'adhérence dans E.