Intégrabilité

Soit ${\displaystyle [a,b]}$ un intervalle fermé inclus dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle \psi$ :[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} } . On dit que ${\displaystyle \psi }$ est une fonction en escalier s'il existe une subdivision ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}=b}$ et des nombres réels ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{n}}$ tels que[1]

${\displaystyle \psi (x)=c_{i}~~~\forall x\in \left]x_{i-1},x_{i}\right[~~~\forall i\in \{1,\dots ,n\}}$.

Si ${\displaystyle \psi }$ est une fonction en escalier sur ${\displaystyle [a,b]}$ alors son intégrale (au sens de Riemann) est définie comme

${\displaystyle \int _{a}^{b}\psi (t)dt:=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(x_{i}-x_{i-1})}$.

Soit ${\displaystyle [a,b]}$ un intervalle fermé inclus dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle f:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} }$. On suppose que ${\displaystyle f}$ est bornée[2], c'est-à-dire qu'il existe un réel ${\displaystyle M>0}$ tel que ${\displaystyle \vert f(x)\vert \leq M}$ pour tout ${\displaystyle x\in [a,b]}$. Notons

${\displaystyle I_{+}(f):=\inf \left\{\int _{a}^{b}\psi (t)dt:\psi {\text{ est une fonction en escalier telle que }}\psi \geq f\right\}}$ et

${\displaystyle I_{-}(f):=\sup \left\{\int _{a}^{b}\varphi (t)dt:\varphi {\text{ est une fonction en escalier telle que }}\varphi \leq f\right\}}$.

On dit alors que ${\displaystyle f}$ est intégrable (au sens de Riemann) si ${\displaystyle I_{-}(f)=I_{+}(f)}$ et dans ce cas son intégrale (au sens de Riemann) est définie comme

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)dt:=I_{-}(f)=I_{+}(f)}$.

Soit ${\displaystyle I}$ un intervalle d'intérieur non vide inclus dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle f:I\longrightarrow \mathbb {R} }$. On suppose que ${\displaystyle f}$ est localement intégrable[3] (au sens de Riemann) sur ${\displaystyle I}$, c'est-à-dire que la restriction de ${\displaystyle f}$ sur tout intervalle fermé inclus dans ${\displaystyle I}$ est intégrable (au sens de Riemann). Notons ${\displaystyle a}$ l'extrémité gauche de ${\displaystyle I}$ et ${\displaystyle b}$ son extrémité droite[4]. On dit alors que ${\displaystyle f}$ est intégrable sur ${\displaystyle I}$ (au sens des intégrales impropres de Riemann) si pour tout ${\displaystyle c}$ dans l'intérieur de ${\displaystyle I}$ on a que les deux limites suivantes convergent :

${\displaystyle \lim _{x\to a}\int _{x}^{c}f(t)dt}$ et ${\displaystyle \lim _{x\to b}\int _{c}^{x}f(t)dt}$.

Dans ce cas l'intégrale (au sens des intégrales impropres de Riemann) de ${\displaystyle f}$ est définie comme la somme des deux limites précédentes[5].

• Une fonction réglée est intégrable sur un intervalle fermé[6]. En particulier on en déduit que les fonctions continues, continues par morceaux, monotones ou encore à variations bornées sont toutes intégrables sur un intervalle fermé.
• Une combinaison linéaire de fonctions intégrables est intégrable sur un intervalle quelconque.
• Si ${\displaystyle f,g:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} }$ sont intégrables sur l'intervalle fermé ${\displaystyle [a,b]}$ alors[7]

1. Pour tout ${\displaystyle \Phi$ :\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} } continue, la composée ${\displaystyle \Phi \circ f}$ est intégrable sur ${\displaystyle [a,b]}$.
2. Le produit ${\displaystyle fg}$ est intégrable sur ${\displaystyle [a,b]}$.
3. Le minimum ${\displaystyle \min(f,g)}$ est intégrable sur ${\displaystyle [a,b]}$.
4. Le maximum ${\displaystyle \max(f,g)}$ est intégrable sur ${\displaystyle [a,b]}$.
5. La valeur absolue ${\displaystyle |f|}$ est intégrable sur ${\displaystyle [a,b]}$.

• Si la valeur absolue d'une fonction est intégrable sur un intervalle quelconque alors la fonction elle-même aussi. La réciproque est vraie pour un intervalle fermé mais est fausse pour un intervalle non fermé. Si une fonction est intégrable mais que sa valeur absolue ne l'est pas alors on dit que son intégrale est semi-convergente.
• Si ${\displaystyle f,g:[a,b[\longrightarrow \mathbb {R} _{+}}$ sont positives, localement intégrables et que de plus ${\displaystyle f(x)=O(g(x))}$ quand ${\displaystyle x\to b}$[8] alors l'intégrabilité de ${\displaystyle g}$ sur ${\displaystyle [a,b[}$ entraîne celle de ${\displaystyle f}$[9]. On remarquera que ${\displaystyle f(x)=O(g(x))}$ est vérifié si par exemple ${\displaystyle 0\leq f\leq g}$ ou ${\displaystyle f(x)\sim g(x)}$ quand ${\displaystyle x\to b}$.
• Soit ${\displaystyle I}$ un intervalle d'intérieur non vide dont les extrémités gauches et droites sont notées ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$. Supposons que ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ sont finis. Si ${\displaystyle f:I\longrightarrow \mathbb {R} }$ est localement intégrable et a des limites finies en ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ alors ${\displaystyle f}$ est intégrable sur ${\displaystyle I}$[10].

• La fonction indicatrice des rationnels entre 0 et 1 n'est pas intégrable.
• Critère de Riemann : la fonction ${\displaystyle x\mapsto x^{-\alpha }}$ est intégrable sur ${\displaystyle ]0,1]}$ si et seulement si ${\displaystyle \alpha <1}$. Cette même fonction est intégrable sur ${\displaystyle [1,+\infty [}$ si et seulement si ${\displaystyle \alpha >1}$.
• Critère de Bertrand : la fonction ${\displaystyle x\mapsto x^{-\alpha }\ln(x)^{-\beta }}$ est intégrable sur ${\displaystyle ]0,e^{-1}]}$ si et seulement si ${\displaystyle \alpha <1}$ ou (${\displaystyle \alpha =1}$ et ${\displaystyle \beta >1}$). Cette même fonction est intégrable sur ${\displaystyle [e,+\infty [}$ si et seulement si ${\displaystyle \alpha >1}$ ou (${\displaystyle \alpha =1}$ et ${\displaystyle \beta >1}$).
• La fonction ${\displaystyle x\mapsto \sin(x)/x}$ est intégrable sur ${\displaystyle ]0,+\infty [}$ mais pas sa valeur absolue. Son intégrale, qui s'appelle l'intégrale de Dirichlet, est donc semi-convergente.