Restriction (mathématiques)

Soit f : E → F une fonction sur un ensemble E vers un ensemble F. Si on prend A, un sous-ensemble de E, alors la restriction de f sur A est la fonction[1] :

${\displaystyle {\begin{aligned}{f|}_{A}\colon &A&\to &F\\&x&\mapsto &f|_{A}(x)=f(x)\end{aligned}}}$

La restriction de f sur A est donc égale à f sur A, mais non définie sur le reste du domaine de f.

• La restriction de la fonction non injective ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}}$ sur le domaine ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}=[0,+\infty [}$ est la fonction injective ${\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}}$.
• La factorielle peut être vue comme la restriction de la fonction gamma sur les entiers positifs, avec un décalage à droite :

  ${\displaystyle {\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!}$

• La restriction d'une fonction à tout son domaine de définition est égale à la fonction elle-même : f |_dom(f) = f.
• Restreindre deux fois revient à restreindre une seule fois : si ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq \operatorname {dom} f}$, alors ${\displaystyle (f|_{B})|_{A}=f|_{A}}$.
• La restriction de la fonction identité sur un ensemble X à un sous-ensemble A de X est simplement l'injection canonique ι de A dans X[2]^,[3].
• La restriction à A d'une application f définie sur X est alors la composée f∘ι par f de cette injection ι[4].
• Par conséquent, la restriction préserve la continuité[4].

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