Continuité (mathématiques)

Une fonction qui n'est pas continue est dite discontinue.

C'est l'idée du seuil ε fixé à l'avance qui est importante. Cette définition est le fruit des efforts des mathématiciens du XIX^e siècle pour rendre rigoureuse la notion intuitive de continuité. En analyse non standard, une approche plus intuitive est possible : on dira que f est continue en a si f(x) – f(a) est infiniment petit quand x – a est infiniment petit. Tout repose alors sur une définition rigoureuse des infiniment petits et cette définition ne s'applique qu'aux fonctions dites standards.

La définition globale de la continuité dans le cadre des espaces topologiques (voir plus bas) permet elle aussi de s'affranchir des ε, mais ceci au prix du formalisme de la topologie générale.

• Une grande partie des fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition : fonctions polynomiales, rationnelles, exponentielles, logarithmes, hyperboliques, trigonométriques, racine n-ième, puissance n-ième, valeur absolue.
• La fonction partie entière sur les réels est discontinue : on « lève le crayon » en arrivant à chaque entier.
• Une fonction réelle dérivable en un point est continue en ce point. (La réciproque est fausse : cf. § « Des erreurs à éviter ».)
• Il existe des fonctions définies sur ℝ qui ne sont continues en aucun point : c'est le cas de la fonction indicatrice de ℚ, appelée la fonction de Dirichlet, qui vaut 1 en tout point rationnel et 0 ailleurs. Intuitivement, on voit bien que, pour tracer cette fonction, il faudrait « lever le crayon » une infinité de fois par intervalle, et surtout aucune ligne de longueur non nulle ne peut être tracée.
• Cet exemple « pathologique » se généralise : pour tout ensemble F_σ (c'est-à-dire toute réunion d'une suite de fermés) d'un intervalle fermé non trivial I de ℝ, il existe une application de I dans ℝ dont les points de discontinuité sont exactement les éléments de cet ensemble (c'est en fait une caractérisation des F_σ)[2].

La notion de continuité sur un intervalle pour les fonctions réelles :

• est utile pour prouver l'existence de solutions à des équations de la forme f(x) = m (voir théorème des valeurs intermédiaires) ;
• simplifie le calcul de limites car ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)}$.

La composée de fonctions continues est une fonction continue. La composée d'une fonction continue et d'une suite convergente est une suite convergente.

Les propriétés de stabilité de la continuité par combinaison linéaire (i.e. pour tous α, β réels et f, g fonctions réelles continues, la fonction αf + βg est continue) et par produit de deux fonctions font de l'ensemble des fonctions continues une algèbre sur le corps des réels.

• Une fonction dérivable en un point est continue en ce point mais la réciproque est fausse. Par exemple les fonctions racine carrée et valeur absolue sont continues en 0 mais non dérivables en ce point (voir l'article « Dérivabilité »).
• Une fonction telle que f : x ↦ 1/x est bel et bien continue. L'erreur consistant à dire que f n'est pas continue en 0 est renforcée par l'absence de précision sur son domaine de définition : la continuité en un point situé hors du domaine de définition n'a pas de sens. Dans le cas de f, tant qu'une valeur n'est pas précisée pour f(0), on doit supposer que le domaine de définition considéré est ℝ*. Ainsi, dire que f est ou n'est pas continue en 0 n'a aucun sens ; on peut seulement dire qu'elle n'est pas prolongeable en une fonction continue en 0.
• Dans l'histoire, la continuité d'une fonction était pensée comme « ne pouvant pas passer d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires » (propriété souvent appelée PVI pour « propriété des valeurs intermédiaires ») mais on sait aujourd'hui qu'il n'y a pas équivalence entre les deux ; la propriété des valeurs intermédiaires est nécessaire pour qu'il y ait continuité (c'est le théorème des valeurs intermédiaires), mais pas suffisante (la fonction f : x ↦ sin(1/x) prolongée par 1 en 0 vérifie bien la propriété des valeurs intermédiaires et est pourtant discontinue en zéro).

À nouveau, f est ainsi continue en a si et seulement si la limite de f en a existe (elle vaut alors nécessairement f(a)).

• Toute application uniformément continue entre deux espaces métriques — en particulier toute application lipschitzienne — est continue.
• Une application linéaire d'un espace vectoriel normé vers un autre est continue si et seulement si elle est bornée sur la boule unité (et elle est alors lipschitzienne).

C'est toujours le cas si l'espace de départ est de dimension finie, mais le cas non borné se présente en dimension infinie : considérons comme application linéaire la dérivation sur l'espace ℝ[X] des polynômes réels, en choisissant, comme norme d'un polynôme, la somme des valeurs absolues de ses coefficients. Tous les monômes Xⁿ sont de norme 1. Pourtant leurs polynômes dérivés sont de la forme nX^n–1, donc de norme n avec n arbitrairement grand. Donc la famille des dérivées n'est pas bornée, et la dérivation n'est pas une application continue.

On peut faire reposer la définition locale (c'est-à-dire pour un point) de la continuité sur la notion de limite :

Si F est séparé (ou même seulement T₁) comme tout espace métrisable, il suffit pour cela qu'il existe une limite de f en ce point.

Caractérisation séquentielle

Si E est métrisable (ou plus généralement : héréditairement séquentiel), f est continue en a si (et seulement si) pour toute suite (x_n) convergeant vers a, la suite f(x_n) converge vers f(a) ; et lorsque de plus F est T₁ (ou même seulement à unique limite séquentielle), il suffit que pour toute suite (x_n) convergeant vers a, la suite f(x_n) admette une limite.

La notion de seuil utilisée pour les fonctions réelles est généralisée par la notion de voisinage : ${\displaystyle {\mathcal {V}}(a)}$ désigne l'ensemble des voisinages de a, et ${\displaystyle {\mathcal {V}}\left(f(a)\right)}$ ceux de f(a). On démontre alors :

La fonction f est dite continue sur A (ou simplement : continue) si elle est continue en tout point de E. Elle est dite continue sur une partie A de E si sa restriction à A (muni de la topologie induite) est continue (il suffit pour cela que f soit continue en tout point de A).

On peut déduire de la définition locale trois caractérisations équivalentes des applications qui sont continues (en tout point de l'espace de départ).

La première d'entre elles est qu'une application est continue si et seulement si l'image réciproque de tout ouvert de l'espace d'arrivée est un ouvert de l'espace de départ. La suivante, analogue, s'écrit en termes de fermés. La quatrième utilise les notions d'adhérence et d'image directe et les deux dernières, celles d'adhérence ou de frontière et d'image réciproque.

Le lien avec la notion intuitive est le suivant : quand une fonction « saute », cela signifie que des points très proches de l'espace de départ, se retrouvent sur des points très éloignés à l'arrivée. Or pour une application continue, ces sauts sont impossibles, d'après le théorème précédent.

• Les caractérisations 2 et 3 sont souvent utilisées, a contrario, pour montrer qu'un certain ensemble est ouvert (ou fermé) en faisant intervenir une application qu'on sait déjà être continue. Par exemple :
  • dans R², l'hyperbole d'équation xy = 1 est fermée, comme image réciproque du singleton {1} par l'application continue « produit » : R² → R, (x, y) ↦ xy ;
  • le graphe d'une application continue f : E → F est fermé dans E×F dès que F est séparé ;
  • deux applications continues à valeurs dans un espace séparé qui coïncident sur une partie dense sont égales. Ceci permet par exemple de montrer que l'ensemble des fonctions continues de R dans R n'a que la puissance du continu donc que son cardinal est strictement plus petit que |R^R| = |P(R)|.
• Dans les caractérisations 4 et 5, les inclusions réciproques sont fausses en général. Par exemple si f est l'application continue de R dans R qui à x associe 1 si x ≤ 1 et 1/x si x ≥ 1, 0 n'appartient pas à f(R) alors qu'il appartient à f(R), et n'appartient pas à f ⁻¹(]0, 1[) alors qu'il appartient à f⁻¹(]0, 1[).
• D'après ce théorème, toute restriction-corestriction d'une application continue est continue (pour les topologies induites).
• Ce théorème permet aussi de montrer que si E est une réunion d'ouverts tels que la restriction de f à chacun de ces ouverts soit continue alors f est continue, et de même si E est réunion d'un nombre fini de fermés tels que la restriction de f à chacun de ces fermés soit continue. Pour une réunion (même finie) de « parties quelconques », on n'a aucun résultat de ce genre (cf. « Fonction de Dirichlet »).
• Si E est séquentiel alors f est continue sur E si (et seulement si) pour tout point a de E et toute suite (x_n) convergeant vers a, la suite f(x_n) converge vers f(a).

• Une application constante d'un espace topologique dans un autre est continue. En effet, l'image réciproque de toute partie est soit l'ensemble vide, soit l'ensemble de départ tout entier.
• Toute application dont l'espace de départ est muni de la topologie discrète, ou l'espace d'arrivée de la topologie grossière, est continue.
• L'application identité, d'un ensemble muni d'une certaine topologie vers le même ensemble muni d'une autre topologie, est continue si et seulement si la topologie sur l'ensemble de départ est plus fine que celle sur l'ensemble d'arrivée. La bijection réciproque n'est alors pas continue, sauf si les deux topologies sont égales.
• Soient A une partie d'un espace topologique X, et 1_A sa fonction caractéristique :
  • de X dans ℝ (ou, par corestriction, de X dans la paire {0, 1} munie de la topologie discrète), les points de X en lesquels 1_A est discontinue sont les points de la frontière de A ;
  • de X dans l'espace de Sierpiński (la paire {0, 1} munie de la topologie { ∅, {1}, {0, 1} }), les points de X en lesquels 1_A est discontinue sont alors seulement les points de A non intérieurs à A.

Un espace métrique (E, d) possède une topologie associée τ. Pour tout point a de E, les boules ouvertes de centre a et de rayons strictement positifs forment une base de voisinages de a pour cette topologie. Si τ' désigne la topologie associée à un espace métrique (E', d'), alors :

En effet, la fonction est continue en a du point de vue topologique si et seulement si (en utilisant les d'-boules formant une base de voisinages de f(a)) : ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad f^{-1}\left(B(f(a),\varepsilon )\right)\in {\mathcal {V}}(a).}$ En utilisant les d-boules formant une base de voisinages de a, cette condition se réécrit : ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad B(a,\eta )\subset f^{-1}\left(B(f(a),\varepsilon )\right)}$ ou encore : ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad \forall x\in B(a,\eta )\quad f(x)\in B(f(a),\varepsilon ),}$ ce qui correspond exactement à la définition de la continuité formalisée par les distances.