Oscillation (mathématiques)

L'oscillation ω(a) d'une suite réelle a = (a_n)_n est la différence entre ses limites supérieure et inférieure :

${\displaystyle \omega (a)=\limsup(a)-\liminf(a)\in [0,+\infty ].}$

Elle est définie sauf si cette différence est de la forme (+∞) – (+∞) ou (–∞) – (–∞), c'est-à-dire si la suite tend vers +∞ ou vers –∞. Elle vaut +∞ lorsque la suite n'est pas bornée. Elle est nulle lorsque la suite converge.

Si f est une fonction à valeurs réelles définie sur un ensemble X, l'oscillation ω_f(U) de f sur une partie non vide U de X est la différence entre les bornes supérieure et inférieure de f sur U :

${\displaystyle \omega _{f}(U)=\sup _{x\in U}f(x)-\inf _{x\in U}f(x).}$

Plus généralement, si f est à valeurs dans un ensemble E muni d'une distance d, ω_f(U) est le diamètre de l'image de U par f :

${\displaystyle \omega _{f}(U)={\rm {diam}}{\Big (}f(U){\Big )}=\sup _{x,y\in U}d{\Big (}f(x),f(y){\Big )}\in [0,+\infty ].}$

Elle est toujours définie, et vaut +∞ lorsque la fonction n'est pas bornée sur U.

Lorsque le domaine X de f est muni d'une topologie, on définit l'oscillation ω_f(a) de f en un point quelconque a de X comme la borne inférieure de ses oscillations ω_f(U) quand U parcourt le filtre V(a) des voisinages de a, ou même seulement une base W(a) de V(a) :

${\displaystyle \omega _{f}(a)=\inf _{U\in V(a)}\omega _{f}(U)=\inf _{U\in W(a)}\omega _{f}(U).}$

Si de plus f est à valeurs réelles, cette oscillation est la différence entre limites supérieure et inférieure de f en a :

${\displaystyle \omega _{f}(a)=\limsup _{V(a)}f-\liminf _{V(a)}f=\limsup _{W(a)}f-\liminf _{W(a)}f.}$

On peut toujours choisir pour W(a) l'ensemble des ouverts qui contiennent a. Si l'espace topologique X est métrisable, on peut aussi choisir comme base la famille des boules (ouvertes par exemple) B(a, ε) de centre a et de rayon ε > 0 et vérifier que

${\displaystyle \omega _{f}(a)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\omega _{f}{\Big (}B(a,\varepsilon ){\Big )},}$

ce qui, si l'espace métrisable X est un ensemble de réels (muni de la distance usuelle), se réécrit :

${\displaystyle \omega _{f}(a)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\omega _{f}\left(]a-\varepsilon ,a+\varepsilon [\cap X\right).}$

L'oscillation de f en un point a de son domaine est nulle si et seulement si f est continue en a[1].

De plus, toutes les égalités ci-dessus s'étendent au cas où f n'est définie que sur une partie Y de X à laquelle a est seulement adhérent, en remplaçant le filtre V(a) des voisinages de a par celui, V_Y(a), de leurs intersections avec Y. L'oscillation de f en a est nulle si et seulement si le filtre image, f(V_Y(a)), est de Cauchy. Lorsque l'espace métrique d'arrivée E est complet, cela équivaut, à nouveau, à l'existence d'une limite en a pour f.

Lorsque X est métrisable et E complet, si f est continue sur le sous-espace Y, elle s'étend continûment au G_δ des points adhérents à Y en lesquels l'oscillation de f est nulle[2].

La notion d'oscillation en un point adhérent généralise aussi celle d'oscillation d'une suite dans ℝ à toute suite dans E, vue comme fonction sur l'espace discret Y = ℕ, en considérant a = +∞, adhérent à ℕ dans son compactifié d'Alexandrov X = ℕ∪{+∞}.