Ensemble F_σ

En mathématiques et, en particulier, en topologie, un ensemble F_σ (lire « F sigma ») est une union dénombrable d'ensembles fermés.

La notation introduite par Felix Hausdorff vient du français, le F désignant un fermé et le σ désignant une somme ou une union[1]. La notation F_σ est équivalente à celle de $\Sigma _{2}^{0}$ utilisée dans la hiérarchie de Borel.

Propriétés

L'union dénombrable d'ensembles F_σ est un ensemble F_σ et l'intersection finie d'ensembles F_σ est un ensemble F_σ.

Le complémentaire d'un ensemble F_σ est un ensemble G_δ[1].

Exemples

Chaque ensemble fermé est un ensemble F_σ.

L'ensemble $\mathbb {Q}$ des rationnels est un ensemble F_σ dans l'ensemble $\mathbb {R}$ des réels muni de sa topologie usuelle. En revanche, l'ensemble $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ des irrationnels n'est pas un ensemble F_σ dans l'ensemble $\mathbb {R}$ des réels muni de sa topologie usuelle.

Dans un espace métrisable, chaque ensemble ouvert est un ensemble F_σ[2].

Dans un espace T₁, chaque ensemble dénombrable est un F_σ car un point ${x}$ constitue un ensemble fermé.

L'ensemble $A$ de tous les points $(x,y)$ du plan cartésien tels que $x/y$ est rationnel est un ensemble F_σ parce qu'il peut s'exprimer comme l'union dénombrable de toutes les droites passant par l'origine avec une pente rationnelle :

A=\bigcup _{r\in \mathbb {Q} }\{(ry,y)\mid y\in \mathbb {R} \},

où

\mathbb {Q}

est l'ensemble des rationnels, qui est un ensemble dénombrable.

Voir aussi

Ensemble G_δ — la notion duale d'un ensemble F_σ
Hiérarchie de Borel
P-espace (en), tout espace au sens de Gillman–Henriksen ayant la propriété que tout ensemble F_σ est fermé

Références

(en) Elias M. Stein et Rami Shakarchi, Real Analysis : Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces, Princeton University Press, 2009, 424 p. (ISBN 978-1-4008-3556-0, lire en ligne), p. 23
(en) Charalambos D. Aliprantis et Kim Border, Infinite Dimensional Analysis : A Hitchhiker's Guide, Berlin, Heidelberg, Springer Verlag, 2006 (ISBN 978-3-540-29587-7, lire en ligne), p. 138

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