Espace uniforme

Un écart[2] sur un ensemble ${\displaystyle E}$ est une application

${\displaystyle d:E\times E\to {\overline {\mathbb {R} _{+}}}=}$[0, +∞]

telle que pour tout ${\displaystyle x,y,z\in E}$ :

1. ${\displaystyle d(x,x)=0}$ ;
2. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$ (symétrie);
3. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$ (inégalité triangulaire).

Une pseudo-distance est un écart à valeurs finies.

On constate deux différences par rapport à la notion de distance :

• la première est mineure : un écart peut prendre la valeur +∞. Mais on peut toujours remplacer d par un écart équivalent (du point de vue de la topologie et de la structure uniforme) à valeurs finies, par exemple min(1,d) ;
• la seconde est essentielle : un écart ne vérifie pas nécessairement l'axiome de séparation pour les distances, qui est[3] : d(x, y) = 0 ⇔ x = y.

On définit la topologie associée à un écart de la même façon que pour une distance : on considère les « boules » ouvertes B(x, r) = { y ∈ E | d(x, y) < r }, et les ouverts de E sont alors les réunions de boules ouvertes.

La topologie obtenue n'est en général pas séparée, ni même T₀. Elle est séparée si et seulement si l'axiome de séparation ci-dessus est vérifié.

Deux écarts sont dits (topologiquement) équivalents s'ils définissent la même topologie.

Si ${\displaystyle f:{\overline {\mathbb {R} }}_{+}\to {\overline {\mathbb {R} }}_{+}}$ est une fonction croissante telle que telle que f(0) = 0, continue en 0, strictement croissante au voisinage de 0 et telle que f(u + v) ≤ f(u) + f(v), alors, en posant t(x, y) = f(d(x, y)), on obtient un écart équivalent à d[4]. En particulier, en utilisant la fonction f(x) = x/(x + 1), on prouve que tout écart est équivalent à un écart fini. Il est donc possible de ne travailler qu'avec des écarts qui ne prennent jamais la valeur infinie.

Une jauge[6] (ou structure uniforme) sur un ensemble E est une famille ${\displaystyle (d_{i})_{i\in I}}$ d'écarts sur E.

Puisque les écarts peuvent toujours se ramener à des pseudo-distances équivalentes, il est aussi courant de définir une jauge comme étant une famille de pseudo-distances.

À une jauge sur E, on associe la topologie engendrée par les topologies associées à chaque écart ${\displaystyle d_{i}}$ individuellement, c'est-à-dire la topologie initiale associée à cette famille (topologie la moins fine sur E pour laquelle tous ces écarts sont continus).

Cette topologie est séparée si et seulement si pour tout couple de points distincts ${\displaystyle x,y\in E}$, il existe un indice ${\displaystyle i\in I}$ tel que ${\displaystyle d_{i}(x,y)>0}$[7].

• La topologie d'un espace localement convexe est définie par une famille de semi-normes, donc par une famille particulière d'écarts.
• Soit ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{m},\mathbb {R} ^{n})}$ l'espace des fonctions lisses de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. À chaque compact ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{m}}$ et à chaque multi-indice ${\displaystyle \alpha }$ est associé un écart ${\displaystyle d_{K,\alpha }(f,g):=\sup _{x\in K}\|f^{(\alpha )}(x)-g^{(\alpha )}(x)\|}$. La topologie associée à cette jauge ${\displaystyle (d_{K,\alpha })_{K,\alpha }}$ est celle de la convergence uniforme sur les compacts des dérivées de tous ordres. Cette topologie est métrisable.
• En considérant des cartes locales, ce dernier exemple se généralise[8] à l'espace ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,N)}$ des applications lisses entre variétés lisses ${\displaystyle M}$ et ${\displaystyle N}$. La topologie obtenue est celle ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$. Elle est métrisable et complète.

Une définition alternative (mais équivalente) d'une structure uniforme sur un ensemble E est la donnée d'un ensemble non vide de parties de E×E, appelées entourages de la structure, vérifiant les axiomes ci-dessous.

• Tout entourage contient la diagonale de E×E.
• Toute partie de E×E qui contient un entourage est un entourage.
• L'intersection de deux entourages est un entourage.
• En notant ${\displaystyle V^{-1}=\{(y,x)\mid (x,y)\in V\}}$, pour tout entourage V, l'ensemble V⁻¹ est aussi un entourage.
• En notant ${\displaystyle W^{2}=\{(x,y)\in E^{2}\mid \exists z\in E,\ (x,z)\in W,(z,y)\in W\}}$, pour tout entourage V, il existe un entourage W tel que W ² ⊂ V.

Remarquons que l'ensemble des entourages est un filtre sur E×E.

Toute structure uniforme définie par une jauge possède une famille d'entourages :

• lorsque cette jauge ne contient qu'un seul écart d, les entourages sont les sur-ensembles des ensembles de la forme ${\displaystyle V_{r}=\{(x,y)\mid d(x,y)<r\}}$ avec r réel strictement positif ;
• lorsqu'elle contient plusieurs écarts, les entourages sont les intersections d'un nombre fini d'entourages associés à un nombre fini d'écarts de la jauge.

Remarque : Il est possible de saturer une jauge en ajoutant aux écarts déjà présents toutes les bornes supérieures d'un nombre fini d'écarts. La structure uniforme obtenue est alors identique (mêmes entourages). L'avantage de la saturation consiste à n'avoir besoin que d'un seul écart et non pas d'une famille finie dans la définition ci-dessus de la structure uniforme.

Toute structure uniforme définie par une famille d'entourages possède une jauge : si l'on se donne une famille d'entourages sur un ensemble, on peut définir une jauge dont la famille d'entourages associés est la famille donnée[9]^,[10].

La topologie associée à une structure uniforme, précédemment définie en termes d'écarts, se reformule en termes d'entourages de la manière suivante.

Soit ${\displaystyle \Phi }$ l'ensemble des entourages. Pour une partie quelconque U de E×E et un point quelconque x de E, notons U[x] l'ensemble des y de E tels que (x, y) ∈ U.

La topologie associée à l'espace uniforme ${\displaystyle (E,\Phi )}$ se définit en prenant pour voisinages d'un point quelconque x tous les V[x] avec V entourage :

${\displaystyle \forall x\in E\quad {\mathcal {V}}(x)=\{V[x]\}_{V\in \Phi }}$.

On démontre[11] que les voisinages ainsi définis satisfont bien aux axiomes de définition des voisinages.