Espace pseudo-métrique
En mathématiques, un espace pseudo-métrique[1] est un ensemble muni d'une pseudo-distance. C'est une généralisation de la notion d'espace métrique.
Sur un espace vectoriel, tout comme une norme induit une distance, une semi-norme induit une semi-distance. Pour cette raison, en analyse fonctionnelle et dans les disciplines mathématiques apparentées, l'expression « espace semi-métrique » est utilisée comme synonyme d'espace pseudo-métrique (alors qu'« espace semi-métrique » a un autre sens en topologie).
Définition
Une pseudo-distance sur un ensemble est une fonction
telle que pour tout ,
- ;
- (symétrie) ;
- (inégalité triangulaire).
Autrement dit, une pseudo-distance est un écart à valeurs finies.
Un espace pseudo-métrique est un ensemble muni d'une pseudo-distance.
À la différence de ceux d'un espace métrique, les points d'un espace pseudo-métrique ne sont pas nécessairement discernables — c'est-à-dire que l'on peut avoir pour des points distincts .
Exemples
Espace | Pseudo-distance | Propriétés et remarques |
---|---|---|
Un ensemble quelconque non vide. | Cette pseudo-distance vérifie la séparibilité si et seulement si est un singleton. | |
L'espace des fonctions à valeurs réelles définies sur . | où est fixé. | Cette pseudo-distance vérifie la séparibilité si et seulement si est un singleton. |
La tribu d'un espace mesuré où est une mesure finie. | où désigne la différence symétrique. | Cette pseudo-distance est parfois appelée la pseudo-distance de Fréchet–Nikodym–Aronszajn[2]. |
La tribu d'un espace mesuré où est une mesure finie. | si et sinon. | Cette pseudo-distance est parfois appelée la pseudo-distance de Markzewisky–Steinhaus[2]. |
Cas particuliers
- Si est un écart sur un ensemble , alors est une pseudo-distance sur .
- Si est une semi-norme sur un espace vectoriel , alors est une pseudo-distance sur . Réciproquement, toute pseudo-distance invariante par translation et homogène provient d'une semi-norme.
Propriétés topologiques
La topologie pseudo-métrique[3] associée à une pseudo-distance est celle induite par l'ensemble des boules ouvertes :
- .
Un espace topologique est dit « pseudo-métrisable » s'il existe une pseudo-distance dont la topologie associée coïncide avec celle de l'espace.
Remarque : un espace est métrisable si (et seulement si) il est pseudo-métrisable et T0.
Identification métrique
En quotientant un espace pseudo-métrique par la relation d'équivalence d'annulation de la pseudo-distance, on obtient un espace métrique. Plus explicitement, on définit
- ,
et l'on obtient une distance sur en posant :
- .
La topologie de l'espace métrique est la topologie quotient de celle de .
Notes et références
- J-M Huriot et J Perreur, « Distances, espaces et représentations (une revue) »,
- (en) A Conci et C S Kubrusly, « Distance Between Sets - A survey »,
- (en) « Pseudometric topology », sur PlanetMath.
Bibliographie
- (en) A. V. Arkhangelskii et L. S. Pontryagin, General Topology I, Springer, , 202 p. (ISBN 978-3-540-18178-1)
- (en) Eric Schechter, Handbook of Analysis and Its Foundations, Academic Press, , 883 p. (ISBN 978-0-08-053299-8, lire en ligne)
- Laurent Schwartz, Cours d'analyse, vol. 2, Hermann, , 475 p. (ISBN 978-2-7056-5765-9)
- (en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Dover, , 244 p. (ISBN 978-0-486-68735-3, lire en ligne), p. 34