Filtre (mathématiques)

En mathématiques, la notion de limite est au cœur de nombreux phénomènes et donne lieu à une théorie appelée topologie :

(1) Si E et F sont des espaces topologiques, f une fonction de E dans F et a un point de E, on dit que « f(x) tend vers une limite ℓ ∈ F lorsque x tend vers a » si pour tout voisinage V de ℓ dans F, il existe un voisinage U de a dans E tel que f(U) ⊂ V.

(2) Si A est une partie non vide de la droite réelle achevée ℝ et a ≠ –∞ est un point adhérent à A, on appelle limite à gauche de f au point a, relativement à A, une quantité ℓ ∈ F telle que pour tout voisinage V de ℓ dans F, il existe un voisinage U de a dans ℝ tel que f(U ∩ A ∩ ]–∞, a[) ⊂ V ; lorsque F est séparé, une telle quantité ℓ est unique et notée ${\displaystyle \lim _{x\to a,x<a,x\in A}f(x)}$.

Lorsque a admet un système fondamental dénombrable de voisinages, par exemple lorsque E est un espace métrisable, l'utilisation de suites est commode pour étudier les limites :

• dans le cas (1) ci-dessus, pour que f(x) tende vers une limite ℓ ∈ F lorsque x tend vers a, il faut et il suffit que pour toute suite (x_n) de E convergeant vers a, la suite (f(x_n)) converge vers ℓ dans F ;
• dans le cas (2), pour que ℓ ∈ F soit limite à gauche de F au point a, relativement à A, il faut et il suffit que pour toute suite (x_n) de A ∩ ]–∞, a[ convergeant vers a, la suite (f(x_n)) converge vers ℓ dans F.

La caractérisation des limites au moyen de suites devient impossible lorsque les points de E n'admettent pas un système fondamental dénombrable de voisinages. C'est le cas, par exemple, si E est un espace localement convexe limite inductive stricte d'une suite strictement croissante d'espaces de Fréchet. De tels exemples se rencontrent en théorie des distributions. On peut alors remplacer les suites par des suites généralisées (ou « suites de Moore-Smith » ou filets[4]). Mais selon Bourbaki[5],

« L'introduction des filtres par H. Cartan, tout en apportant un instrument très précieux en vue de toutes sortes d'applications (où il se substitue avantageusement à la « notion de convergence à la Moore-Smith »), est venue, grâce à la théorie des ultrafiltres, achever d'éclaircir et de simplifier la théorie. »

Néanmoins, comme l'écrit Eric Schechter[6],

«  Filters have many other uses — in set theory, logic, algebra, etc. — but filters can also be used to study convergences. In fact, nets and filters yield essentially the same results about convergences. Some mathematicians prefer nets or prefer filters, and use only one system or the other. It is this author's opinion that the ideas of nets and filters complement each other; they should not be viewed as two separate systems of ideas.  »

Les filets permettent de traiter les problèmes classiques de topologie (ceux ayant trait aux questions de convergence) au même titre que les filtres[7], tandis que les filtres s'avèrent, sinon nécessaires, du moins mieux adaptés, pour des problèmes de topologie plus exotiques[8].

Étant donné un ensemble E, on appelle filtre sur E toute partie ℱ de P(E) (ensemble des parties de E) telle que[9] :

1. toute partie de E incluant un élément de ℱ appartient à ℱ ;
2. toute intersection finie d'éléments de ℱ appartient à ℱ ;
3. l'ensemble vide n'appartient pas à ℱ.

Remarques[9] :

• l'axiome 2 est équivalent à la conjonction des deux axiomes suivants :
  • 2a. l'intersection de deux éléments de ℱ appartient à ℱ,
  • 2.b. E (l'intersection de la famille vide[10]) appartient à ℱ ;
• les axiomes 2.b et 3 montrent qu'il n'y a pas de filtre sur l'ensemble vide ;
• en présence de l'axiome 1 :
  • l'axiome 2.b équivaut à : ℱ est non vide ;
  • l'axiome 3 équivaut à : ℱ ≠ P(E).

• 

  Les éléments en vert foncé forment un filtre : ce sont tous les sous-ensembles qui incluent {1, 4}. Si on ajoute les éléments en vert clair, on a le filtre principal composé des éléments qui incluent {1}.
  Soit A un sous-ensemble non vide d'un ensemble E. L'ensemble ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{A}=\{X\in P(E)\mid A\subseteq X\}}$ est un filtre, qu'on dit être un filtre principal. Le filtre principal ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\{x\}}}$ (${\displaystyle x\in E}$) est souvent noté ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$.
• Soit E un espace topologique et x un élément de E. L'ensemble des voisinages de x est un filtre sur E appelé filtre des voisinages de x[11].
  Dans le cas particulier où la topologie de E est discrète, on retombe sur un filtre principal puisque pour la topologie discrète, une partie de E est un voisinage de x si et seulement si elle contient x.
• Le filtre de Fréchet sur un ensemble infini E est l'ensemble des parties de E ayant un complémentaire fini dans E. En absence de précision, un filtre de Fréchet est considéré sur l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {N} }$ des entiers naturels.
• Soit A un sous-ensemble de E et ℱ un filtre sur E. La trace ℱ_A de ℱ sur A est un filtre sur A si et seulement si tout élément de ℱ rencontre A. Cette trace ℱ_A est alors appelée le filtre induit par ℱ sur A[12].
• Soit ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}$ une famille non vide de filtres sur un ensemble E. L'ensemble ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\bigcap \nolimits _{i\in J}{\mathcal {F}}_{i}}$ est un filtre sur E, appelé filtre intersection de la famille ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}$.

Soient E un espace topologique et x un élément de E. On dit que

• un filtre sur E converge vers x s'il est plus fin que le filtre des voisinages de x ; on exprime cela aussi en disant que x est une limite du filtre
• une base de filtre sur E converge vers x si le filtre qu'elle engendre converge vers x.
• x est adhérent à un filtre ℱ (sur E) si tout voisinage V de x et tout élément F de ℱ se rencontrent. Autrement dit il existe un filtre ℱ ' qui contient à la fois ℱ et ${\displaystyle {\mathcal {V}}(x)}$ ou encore il existe un filtre ℱ ' plus fin que ℱ qui converge vers x.

L'ensemble des points adhérents à un filtre ℱ est un fermé : c'est ${\displaystyle \cap _{F\in {\mathcal {F}}}{\overline {F}}}$.

Si un filtre ℱ converge vers x alors x est adhérent à ℱ. La réciproque est vraie si ℱ est un ultrafiltre.

L'espace E est séparé si, et seulement si un filtre sur E ne peut avoir plus d'une limite.

Soit E et F deux ensembles, f une fonction de E dans F et ℱ un filtre sur E. Le filtre image de ℱ par f est par définition l'ensemble des parties de F dont l'image réciproque par f appartient au filtre ℱ. Une base de ce filtre est l'ensemble f(ℱ) des images directes des éléments de ℱ.

Lorsque F est un espace topologique et y un élément de F, on dit que f converge vers y suivant ℱ, et on écrit ${\displaystyle y=\lim \nolimits _{\mathcal {F}}f}$, si f(ℱ) converge vers y. Ceci généralise la notion habituelle de limite : lorsque E est également un espace topologique, a est un point de E et ℱ est le filtre des voisinages de a, on dit, lorsque f converge vers y suivant ℱ, que f(x) tend vers y lorsque x tend vers a ; si A est un sous-espace de E, a est un point adhérent à A et ℱ est la trace sur A du filtre des voisinages de a, on dit, lorsque f converge vers y suivant ℱ, que y est limite de f au point a, relativement au sous-espace A. On écrit ${\displaystyle y=\lim \limits _{x\rightarrow a}f\left(x\right)}$ dans le premier cas, ${\displaystyle y=\lim \limits _{x\rightarrow a,x\in A}f\left(x\right)}$ dans le second. On dit que f est continue au point ${\displaystyle a\in E}$ si ${\displaystyle f(a)=\lim \limits _{x\rightarrow a}f\left(x\right)}$.

On peut également définir les notions de limites inférieure et supérieure, suivant un filtre, d'une fonction à valeurs dans ℝ.

Soit ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ une suite généralisée (ou filet) dans un ensemble E et, pour tout ${\displaystyle i\in I}$, ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}=\{x_{k}\mid k\geq i\}}$. L'ensemble ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{{\mathcal {\mathcal {B}}}_{i}\mid i\in I\}}$ est une base de filtre de E, appelé base du filtre élémentaire associé au filet ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$. Ce filtre élémentaire est l'image du filtre de Fréchet de I par la fonction ${\displaystyle i\mapsto x_{i}}$ de I dans E.

Réciproquement, soit ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ un filtre sur un ensemble E, ${\displaystyle I}$ une base de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, filtrante pour l'inclusion. Pour tout ${\displaystyle i\in I}$, soit ${\displaystyle x_{i}\in i}$. Le filet ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ est dit associé à ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ (il n'y a pas unicité d'un filet associé à un filtre).

On dit qu'un filet ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ d'un ensemble E converge vers un point a de E si pour tout voisinage U de a, il existe ${\displaystyle i\in I}$ tel que ${\displaystyle x_{k}\in U}$ pour tout ${\displaystyle k\geq i}$.

De même :

Les filtres permettent une caractérisation simple des espaces topologiques compacts.

Théorème : Un espace topologique séparé E est compact si et seulement si tout filtre de E admet un point adhérent, ou encore si et seulement si tout ultrafiltre de E converge.

Cette caractérisation qui généralise le théorème de Bolzano-Weierstrass permet de démontrer élégamment le théorème de Tychonov[18].

Soit E un espace vectoriel topologique, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ un filtre sur E. On dit que ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ est borné s'il contient une partie bornée de E[20].

En particulier, si ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ est un filet de E et ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ est le filtre élémentaire associé, ce filtre est borné si, et seulement s'il existe ${\displaystyle i\in I}$ tel que ${\displaystyle \{x_{k}:k\geq i\}}$ est un sous-ensemble borné de E. C'est le cas si ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ est une suite de Cauchy (avec ${\displaystyle I=\mathbb {N} )}$.

Soit E un espace localement convexe. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(a) Toute partie bornée et fermée de E est complète (pour la structure uniforme induite par celle de E).

(b) Tout filtre de Cauchy borné de E est convergent.

L'espace localement convexe E est dit quasi complet si l'une des conditions équivalentes ci-dessus est satisfaite.

Démonstration des équivalences : Supposons (a) satisfaite, soit ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ un filtre de Cauchy borné de E et ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ une partie bornée de E. La trace ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{A}}$ sur A de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ est un filtre de Cauchy sur l'adhérence A de A qui est une partie fermée et bornée de E. Donc ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{A}}$ converge, et par suite ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ converge puisque ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{A}\subset {\mathcal {F}}}$ ; donc (b) est satisfaite. Réciproquement, supposons (b) satisfaite, soit A une partie fermée bornée de A et ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ un filtre de Cauchy de A. Ce filtre est un filtre borné de E, donc converge, et (a) est donc satisfaite.