Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel

La théorie de Zermelo est une présentation moderne de la théorie publiée par Zermelo en 1908[1], présentée explicitement ou implicitement dans le cadre de la logique du premier ordre avec égalité. Elle apparaît souvent dans les livres d'introduction à la théorie des ensembles[2]. Elle comporte les axiomes suivants :

• l'axiome d’extensionnalité qui dit que si deux ensembles A et B possèdent les mêmes éléments, alors ils sont égaux : ${\displaystyle \forall A\ \forall B\ [(\forall x\ [x\in A\Leftrightarrow x\in B])\Rightarrow A=B]}$.
• et les axiomes de « construction » :
  • l'axiome de la paire qui dit que si a et b sont des ensembles, leur paire c est aussi un ensemble : ${\displaystyle \forall a\ \forall b\ \exists c\ \forall x\ \left[x\in c\Leftrightarrow (x=a\vee x=b)\right]}$ ;
  • l'axiome de la réunion qui dit que, pour tout ensemble a (dont les éléments sont des ensembles), il existe un ensemble c qui est l'union des ensembles éléments de a : ${\displaystyle \forall a\ \exists c\ \forall x\ \left(x\in c\Leftrightarrow \exists y\ (y\in a\wedge x\in y)\right)}$ ;
  • l'axiome de l'ensemble des parties qui dit que la collection c des parties d'un ensemble a est un ensemble  : ${\displaystyle \forall a\ \exists c\ \forall x\ \left[x\in c\Leftrightarrow x\subset a\right]}$, où l'inclusion ${\displaystyle x\subset a}$ s'écrit en termes d'appartenance ${\displaystyle \forall y(y\in x\Rightarrow y\in a)}$ ;
  • l'axiome de l'infini ;
  • le schéma d'axiomes de compréhension : pour chaque propriété P « bien définie », et chaque ensemble A, il existe un ensemble qui a pour éléments l'ensemble des éléments de A vérifiant la propriété P ;
  • L'axiome de l'ensemble vide, parfois introduit séparément, se déduit du schéma d'axiomes de compréhension (en logique du premier ordre).

Le théorème de Hartogs, vu comme l'existence pour tout ensemble A d'un ensemble bien ordonné qui ne s'injecte pas dans A, se démontre dans la théorie de Zermelo.

La théorie de Zermelo comprenait de plus à l'origine l'axiome du choix. Dans la théorie (Z), le théorème de Zermelo et le lemme de Zorn peuvent se déduire de cet axiome supplémentaire[3] et lui sont donc équivalents.

La théorie de Zermelo-Fraenkel étend la théorie de Zermelo et comporte en plus :

• Schéma d'axiomes de remplacement
• Axiome de fondation

Le schéma d'axiomes de remplacement permet en particulier le développement de la théorie des ordinaux.

Le schéma d'axiomes de compréhension se déduit du schéma d'axiomes de remplacement (et donc en particulier l'existence de l'ensemble vide, étant admis que tout univers ensembliste possède au moins un élément).

L'axiome de la paire se déduit de l'axiome des parties et du schéma de remplacement.

L'axiome de fondation fait ou non partie de la théorie selon les auteurs. Il est indépendant des autres et n'est pas nécessaire à la théorie des ordinaux.

Elle comporte en plus :

• Axiome du choix

D'autres axiomes peuvent être ajoutées à la théorie ZFC, comme

• l'hypothèse du continu, qui ne peut ajouter de nouvelle contradiction (si la théorie ZFC avec hypothèse du continu est contradictoire, c'est que la théorie ZFC l'est aussi),
• les axiomes de grands cardinaux, qui renforcent la théorie (on peut démontrer la cohérence de la théorie ZFC dans la théorie ZFC plus un axiome de grand cardinal, ce qui entraîne que la cohérence de ZFC plus un axiome de grand cardinal ne se déduit pas de celle de ZFC, par le second théorème d'incomplétude de Gödel).

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