Méréologie

La méréologie est la discipline qui étudie les relations de partie : les relations entre une partie et son tout, ainsi que les relations entre plusieurs parties au sein d’un même tout[2]. Les entités considérées peuvent être de différentes natures : il peut s’agir d’objets (le toit d’une maison), d’évènements (la phase larvaire dans la vie d’un insecte) ou d’autres entités.

La partie propre (proper parthood en anglais) est la relation entre deux individus[N 1] différents, dont l’un est une partie de l’autre. Elle est généralement notée ${\displaystyle PP(x,y)}$ ou ${\displaystyle x<<y}$ (${\displaystyle x}$ est une partie propre de ${\displaystyle y}$). Par exemple, le toit est une partie propre de la maison.

La partie générale (parthood en anglais) est la relation entre deux individus, dont l’un est une partie de l’autre. La différence fondamentale avec la partie propre est que cette relation est réfléxive, c’est-à-dire que toute entité est une partie d’elle-même. Elle est généralement notée ${\displaystyle P(x,y)}$ ou ${\displaystyle x<y}$ (${\displaystyle x}$ est une partie de ${\displaystyle y}$). Par exemple, le toit est une partie de la maison et de lui-même.

Le chevauchement (overlap en anglais) est la relation entre deux individus qui partagent une partie. Elle est généralement notée ${\displaystyle O(x,y)}$ ou ${\displaystyle x\circ y}$ (${\displaystyle x}$ chevauche ${\displaystyle y}$). Cette relation est symmétrique, c’est-à-dire que si ${\displaystyle x}$ chevauche ${\displaystyle y}$, alors ${\displaystyle y}$ chevauche aussi ${\displaystyle x}$. Par exemple, deux salles mitoyennes se chevauchent (elle partage un mur).

La somme binaire (binary sum en anglais) est l’opération qui produit un nouvel individu en en sommant deux autres. Elle est généralement notée ${\displaystyle S(z,x,y)}$ ou ${\displaystyle z=x\circ y}$[N 2] (${\displaystyle z}$ est une somme de ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$[N 3]). Par exemple, un tabouret est la somme de l’assise et du pied. La somme n’est pas limitée à des entités en un seul bloc : un bikini est la somme de la partie haute et de la partie basse[3]. De plus, l’entité n’a pas à avoir du sens : ainsi, on peut considérer un trog comme étant la somme d’un chien et de le tronc de l’arbre le plus proche de ce chien[4].

Différentes axiomatisations sont possibles selon la relation utilisée comme primitive[5]. Le choix de la primitive varie selon les auteurs et leurs préférences[5]. Trois relations sont généralement considérées pour être utilisée comme primitive : la partie propre, la partie générale et le chevauchement (on retrouve quelques fois l’utilisation de la négation du chevauchement, à savoir la disjonction)[5]. Le choix de la primitive est surtout d’ordre métaphysique[5]. En effet, à partir d’une des relations, il est possible de définir les autres[5]. D’après Josh Parsons, il s’agit donc plus de savoir comment est comprise la nature méréologique du monde[5].

Il est possible de formuler une « méréologie naïve », analogue à la théorie naïve des ensembles. Ceci donne lieu à des paradoxes analogues au paradoxe de Russell, issus de cas de négation récursive. Soit un objet O tel que tout objet qui n’est pas une partie au sens strict de lui-même soit une partie stricte de O. L’objet O est-il une partie stricte de lui-même ? Non, car aucun objet n’est une partie stricte de lui-même ; oui, car il répond aux exigences spécifiées pour l’inclusion en tant que partie stricte de O. (Tout objet est une partie au sens large de lui-même. Un autre paradoxe, d’une structure différente, peut être amené en utilisant « partie au sens large » au lieu de « partie au sens strict » ; et un autre encore en utilisant « partie au sens strict ou large »). La méréologie nécessite donc une formulation axiomatique.

La discussion ci-après et la terminologie utilisée suivent de près Roberto Casati et Achille C. Varzi[6]. Un « système » méréologique est une théorie logique du premier ordre (utilisant le concept d’identité), dont le domaine du discours consiste en des touts et en leurs parties respectives, appelés de manière collective « objets ». La méréologie est une collection de systèmes axiomatiques emboités (nested) et non-emboités, qui n’est pas sans analogie avec la logique modale.

Un système méréologique requiert au moins une relation primitive, par exemple la relation binaire « est une partie de » : x est une partie de y, ce qui s’écrit Pxy. Cette relation est presque toujours considérée comme organisant partiellement l’univers. On définit immédiatement le prédicat : x est une partie au sens strict de y, qui s’écrit : Pxy, et qui est vérifié si Pxy est vrai et Pyx est faux. Un objet ne possédant pas de parties au sens strict est un atome. Le domaine du discours de la méréologie comprend tous les objets que l’on souhaite considérer, plus la totalité de leurs parties au sens strict.

On définit également les deux prédicats généraux suivants :

• la superposition (overlap) : x et y sont superposés, ce qui s’écrit Oxy, s’il existe un objet z tel que Pzx et Pzy soient tous deux vérifiés. Les parties de z, la « superposition » ou « produit » de x et y, sont précisément les objets qui font partie à la fois de x et de y ;
• la disjonction (underlap) : x et y sont disjoints, ce qui s’écrit Uxy, s’il existe un objet z tel que x et y soient tous deux des parties de z.

Il s’ensuit un certain nombre d’axiomes possibles. (Les lettres minuscules dénotent des variables portant sur des objets).

• La relation de la partie au tout est une relation d’ordre partiel de l’univers :
  • M1, Réflexivité : Un objet est une partie (au sens large) de lui-même : pour tout x, Pxx ;
  • M2, Antisymétrie : Si Pxy et Pyx sont tous deux vérifiés, alors x et y sont le même objet ;
  • M3, Transitivité : Si Pxy et Pyz, alors Pxz.
• M4, « Supplémentation faible » : Si Pxy est vérifié, il existe un z tel que Pzy est vérifié mais Ozx ne l’est pas.
• M5, « Supplémentation forte » : Si Pyx n’est pas vérifié, il existe un z tel que Pzy est vérifié mais Ozx ne l’est pas.
• M5’, « Supplémentation atomistique » : Si Pxy n’est pas vérifié, alors il existe un atome z tel que Pzx est vérifié, mais Ozy ne l’est pas.
• Top : Il existe un « objet universel », désigné par W, tel que PxW est vérifié pour n’importe quel x. Top est un théorème si M8 est vérifié.
• Bottom : Il existe un « objet nul » atomique, désigné par N, tel que PNx est vérifié pour n’importe quel x.
• M6, Somme : Si Uxy est vérifié, alors il existe un z, appelé « somme » ou « fusion » de x et y, tel que les parties de z sont exactement les objets qui sont des parties de x ou de y.
• M7, Produit : Si Oxy est vérifié, il existe un z, appelé « produit » de x et y, tel que les parties de z sont exactement les objets qui sont des parties à la fois de x et de y. Si Oxy n’est pas vérifié, x et y n’ont pas de parties non vides en commun, et le produit de x et y est défini si et seulement si Bottom est vérifié.
• M8, Fusion non restreinte : Soit φ une formule du premier ordre, possédant une variable libre ; alors la fusion de tous les objets qui satisfont à φ existe. Aussi dénommé « principe de la somme générale », « composition méréologique non restreinte », ou « universalisme ». M8 correspond au principe de compréhension non restreinte de la théorie naïve des ensembles. Ce principe donne naissance au paradoxe de Russell. Il n’y a pas de contrepartie méréologique à ce paradoxe simplement parce que la relation de partie au tout, contrairement à l’appartenance à un ensemble, est réflexive.
• M8', Fusion unique : La fusion décrite par M8, non seulement existe, mais est unique.
• M9, Atomicité : Tous les objets sont, soit des atomes, soit des fusions d’atomes.

Les axiomes ci-dessus sont tous vérifiés dans la « méréologie extensionnelle classique ». D’autres systèmes méréologiques sont décrits dans Simons (1987) et Casati and Varzi (1999). Il y a des analogies entre ces axiomes et ceux de la théorie standard des ensembles de Zermelo-Fraenkel, si le terme méréologique de « partie » est mis en correspondance avec celui de « sous-ensemble » dans la théorie des ensembles.

Dans le tableau ci-dessous, les séquences de caractères majuscules dénomment des systèmes méréologiques. Ces systèmes sont partiellement ordonnés par l’inclusion, dans le sens où, si tous les théorèmes d’un système A sont aussi des théorèmes d’un système B, mais que l’inverse n’est pas nécessairement vrai, alors B inclut A. Le diagramme de Hasse résultant est similaire à celui de Fig. 2,, et à Fig. 3.2 dans Casati and Varzi (1999, p. 48).

Il y a deux manières équivalentes d’asserter que l’univers est partiellement ordonné : on peut supposer soit M1-M3, soit que la relation partie-tout au sens strict est transitive et asymétrique. L’une et l’autre axiomatisation aboutissent au système M. M2 exclut les boucles fermées utilisant la notion de partie ; de sorte que la relation partie-tout est bien fondée. Les ensembles sont bien fondés si l’on admet l’axiome de régularité. On trouve ici et là dans la littérature des objections philosophiques et de bon sens à la transitivité de la relation partie-tout.

M4 et M5 constituent deux manière d’asserter la « supplémentation », analogue méréologique à la définition du complémentaire pour les ensembles, avec M5 plus solide car M4 est dérivable de M5. M et M4 produisent une méréologie « minimale », MM. Dans quelque système que ce soit où M5 et M5’ sont admis ou peuvent être dérivés, on peut prouver que deux objets possédant les mêmes parties au sens strict sont identiques. Cette propriété est appelée l’extensionnalité, un terme emprunté à la théorie des ensembles, pour laquelle l’extensionnalité constitue l’axiome de définition. Les systèmes méréologiques dans lesquels l’extensionnalité est vérifiée sont dénommés « extensionnels », ce qui se note en incluant la lettre E dans leurs noms symboliques.

M6 asserte que deux objets disjoints ont dans tous les cas une somme unique, et M7, que deux objets superposés ont dans tous les cas un produit unique. Si l’univers est fini ou si l’axiome Top est admis, alors l’univers est fermé par la « somme ». La fermeture universelle du « produit » et de la supplémentation relative à W nécessite l’axiome Bottom. W et N sont, évidemment, l’analogue méréologique de l’ensemble universel et de l’ensemble nul, et la somme et le produit sont de même les analogues respectivement de l’union et de l’intersection dans la théorie des ensembles. Si M6 et M7 sont tous deux admis ou dérivables, le résultat est une méréologie « close ».

Parce que la somme et le produit sont des opérations binaires, M6 et M7 n’admettent la somme et le produit que d’un nombre fini d’objets. L’axiome de fusion, M8, autorise à définir la somme d’un nombre d’objets infini. Il en est de même pour le produit, s’il est défini. Ici, la méréologie invoque souvent la théorie des ensembles, mais tout recours à la théorie des ensembles peut être éliminé en remplaçant une formule à variable quantifiée couvrant un univers d’ensembles par une formule schématique à une variable libre. La formule est vérifiée (si elle est satisfaite) à chaque fois que le nom d’un objet élément de l’ensemble (s’il existe) remplace la variable libre. Il s’ensuit que n’importe quel axiome ensembliste peut être remplacé par un schéma axiomatique avec des sous-formules atomiques monadiques. M8 et M8’ sont justement de tels schémas. La syntaxe d’une théorie du premier ordre ne peut décrire qu’un nombre dénombrable d’ensembles ; donc seuls [denumerably many sets] peuvent être éliminés de cette manière, mais cette limitation n’est pas contraignante pour le type de mathématiques examinées ici.

Si M8 est vérifié, alors W existe pour des univers infinis. L’axiome Top n’est donc nécessaire que si l’univers est infini et que M8 n’est pas vérifié. Curieusement, Top (W étant postulé) n’est pas sujet à controverse, alors que Bottom (N étant postulé) l’est. Leśniewski a rejeté Bottom, et la plupart des systèmes méréologiques ont suivi son exemple (les travaux de Richard Milton Martin constituent une exception). Donc alors que l’univers est clos par la somme, le produit d’objets non superposés est typiquement indéfini. Un système qui contient W mais pas N est isomorphique à :

• une algèbre de Boole sans le 0 ;
• un semi-treillis (join) avec 1 comme limite supérieure. La fusion binaire et W interprètent (join) et 1, respectivement.

Le fait de postuler N rend tous les produits possibles définissables, mais transforme également la méréologie classique extensionnelle en un modèle non ensembliste de l’algèbre de Boole.

Si on admet les ensembles, M8 asserte l’existence de la fusion de tous les membres de n’importe quel ensemble non vide. Tout système méréologique dans lequel M8 est vérifié est appelé « général », et son nom inclut la lettre G. Dans n’importe quelle méréologie générale, M6 et M7 sont démontrables. Le fait d’ajouter M8 à une méréologie extensionnelle aboutit à une « méréologie extensionnelle générale », abrégée GEM en anglais ; de plus, l’extensionnalité rend la fusion unique. Réciproquement, si la fusion assertée par M8 est réputée unique, de sorte que M8’ remplace M8, alors comme l’a montré Tarski (1929), M3 et M8’ suffisent à axiomatiser GEM, ce qui représente un résultat remarquablement économique. Simons (1987, p. 38–41) propose une liste de théorèmes GEM.

M2 et un univers fini impliquent nécessairement l’atomicité, c’est-à-dire que toute chose, soit est un atome, soit inclut des atomes parmi ses parties au sens strict. Si l’univers est infini, l’atomicité nécessite M9. Le fait d’ajouter M9 à n’importe quel système méréologique X aboutit à sa variante atomistique, notée AX. L’atomicité est économique. Par exemple, le fait d’admettre M5’ implique l’atomicité et l’extensionnalité, et produit une axiomatisation alternative de AGEM.

L’étude de H. Bunt (1985), qui porte sur la sémantique du langage naturel, montre comment la méréologie peut aider à comprendre des phénomènes tels que la distinction entre noms massifs et comptables, ou encore l’aspect du verbe. Néanmoins, le langage naturel utilise souvent le terme « partie » de manière ambiguë (Simons ^[Qui ?] 1987 discute ceci en détail). On ne voit donc pas clairement comment, au cas où ce serait possible, traduire certaines expressions du langage naturel en prédicats méréologiques. Pour éviter de telles difficultés il pourrait être nécessaire de cantonner l’interprétation de la méréologie aux mathématiques et aux sciences naturelles. Casati et Varzi (1999), par exemple, limitent la portée de la méréologie aux objets physiques.

La relation de partie au tout est l'un des emplois du génitif (souvent défini sommairement comme exprimant la « possession ») dans les langues à cas. ex. : Peter's leg = la jambe de Pierre.

• Stanisław Leśniewski
• Théorie des ensembles
• Classe (mathématiques)
• Ensemble puissance
• Ontologie (philosophie)
• Télicité
• Bateau de Thésée

 : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

• (en) Peter Simons, Parts : A Study in Ontology, OUP, 1987 (ISBN 0-19-924146-5, OCLC 15629988). 
• (en) Aaron J. Cotnoir et Achille Varzi, Mereology, Oxford, OUP, 2021 (ISBN 978-0-19-874900-4, DOI 10.1093/OSO/9780198749004.001.0001). 

• (en) Josh Parsons, « The Many Primitives of Mereology », Mereology and Location,‎ 2014, p. 3-12 (lire en ligne)

• Bunt, Harry, 1985. Mass terms and model-theoretic semantics. Cambridge Uni. Press.
• Burkhardt, H., and Dufour, C.A., 1991, « Part/Whole I: History » in Burkhardt, H., and Smith, B., eds., Handbook of Metaphysics and Ontology. Muenchen, Philosophia Verlag.
• Casati, R., and Varzi, A., 1999. Parts and Places: the structures of spatial representation. MIT Press.
• Eberle, Rolf, 1970. Nominalistic Systems. Kluwer.
• Goodman, Nelson, 1977 (1951). The Structure of Appearance. Kluwer.
• Husserl, Edmund, 1970. Logical Investigations, Vol. 2. Findlay, J.N., trans. Routledge.
• Leonard, H.S., and Goodman, Nelson, 1940, « The calculus of individuals and its uses », Journal of Symbolic Logic 5, p. 45–55.
• Leśniewski, Stanisław, 1992. Collected Works. Surma, S.J., Srzednicki, J.T., Barnett, D.I., and Rickey, F.V., eds. and trans. Kluwer.
• Lewis, David K., 1991. Parts of Classes. Blackwell.
• Srzednicki, J. T. J., and Rickey, V. F., eds., 1984. Lesniewski's Systems: Ontology and Mereology. Kluwer.
• Tarski, Alfred, 1984 (1956), « Foundations of the Geometry of Solids » in his Logic, Semantics, Metamathematics: Papers 1923–38. Woodger, J., and Corcoran, J., eds. and trans. Hackett.
• Whitehead, A.N., 1919. An Enquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge. Cambridge Uni. Press. 2^d ed., 1925.
• –––, 1920. The Concept of Nature. Cambridge Uni. Press. 2004 paperback, Prometheus Books. Being the 1919 Tarner Lectures delivered at Trinity College.

• Ressource relative à la recherche :
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• Stanford Encyclopedia of Philosophy : « Boundary » – Achille Varzi.
• Varzi, Achille C., 2006, « Spatial Reasoning and Ontology: Parts, Wholes, and Locations »

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