Espace L^p

La norme p sur l'espace vectoriel de dimension finie Rⁿ s'étend aux fonctions continues sur un segment [a, b] par

${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{a}^{b}|f(t)|^{p}\,\mathrm {d} t\right)^{1/p}}$

et plus généralement aux fonctions mesurables sur un espace mesuré (X, A, μ) et à valeurs réelles ou complexes et de puissance p intégrable par :

${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{X}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}.}$

Sur un domaine X d'un espace euclidien, la mesure est en général celle de Lebesgue.

Or une fonction positive est d'intégrale nulle si et seulement si elle s'annule presque partout, c'est-à-dire sur le complémentaire d'un ensemble négligeable. L'espace L^p(X, A, μ) est alors défini comme quotient de l'espace des fonctions mesurables p intégrables, souvent noté : ℒ^p(X, A, μ), par le sous-espace vectoriel des fonctions presque partout nulles. Ce quotient identifie donc les fonctions qui sont dans la même classe pour la relation d'équivalence « f ~ g » ssi « f et g sont égales presque partout ».

Dans le cadre de la théorie de Riemann, l'espace L^p(R) peut aussi se définir par un procédé de complétion.

L'espace ℒ^∞(X, A, μ) est défini comme l'espace vectoriel des fonctions μ-essentiellement bornées (c'est-à-dire les fonctions bornées sur le complémentaire d'un ensemble négligeable), muni de la semi-norme « borne supérieure essentielle ».

Ensuite, l'espace vectoriel normé L^∞(X, A, μ) est, comme précédemment, le quotient de ℒ^∞(X, A, μ) par le sous-espace des fonctions nulles presque partout.

L'expression entre doubles barres donnée ci-dessus est bien positive et ne s'annule que pour la classe de la fonction nulle dans L^p(X, A, μ). En outre, elle est positivement homogène, c'est-à-dire que pour tout scalaire λ,

${\displaystyle \|\lambda f\|_{p}=|\lambda |~\|f\|_{p}}$.

Cependant, elle ne satisfait l'inégalité triangulaire que pour p supérieur ou égal à 1. Les espaces L^p pour 1 ≤ p ≤ ∞ sont des espaces de Banach, c'est-à-dire complets pour la norme ainsi définie : c'est le théorème de Riesz-Fischer, qui démontre au passage que toute suite de Cauchy dans L^p possède une sous-suite qui converge presque partout.

Pour 0 < p < 1, ║ ║ est seulement une quasi-norme et L^p est seulement un F-espace (en), c'est-à-dire un espace vectoriel topologique métrisable complet, pour une distance invariante par translations : d_p(f, g) = ║f – g║_p^p, mais il n'est pas localement convexe donc pas normable.

• Si la mesure est finie alors, d'après l'inégalité de Hölder ou celle de Jensen, la famille des espaces L^p est décroissante, avec des injections continues :${\displaystyle {\text{si }}\mu (X)<+\infty {\text{ alors }}0<p\leq q\leq +\infty \Rightarrow \mathrm {L} ^{p}\supset \mathrm {L} ^{q}{\text{ et }}\sup _{f\in \mathrm {L} ^{q},\|f\|_{q}\leq 1}\|f\|_{p}=\|\mu (X)^{\frac {-1}{q}}\|_{p}=\mu (X)^{{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}}.}$Il existe une réciproque forte pour les mesures σ-finies.
• Si les mesures des parties non négligeables sont minorées par un même réel strictement positif alors, la famille des L^p est croissante, avec des injections continues :${\displaystyle {\text{si }}\inf _{\mu (A)>0}\mu (A)=\varepsilon >0{\text{ alors }}0<p\leq q\leq +\infty \Rightarrow \mathrm {L} ^{p}\subset \mathrm {L} ^{q}{\text{ et }}\sup _{f\in \mathrm {L} ^{p},\|f\|_{p}\leq 1}\|f\|_{q}=\varepsilon ^{{\frac {1}{q}}-{\frac {1}{p}}}.}$On a le même type de réciproque que ci-dessus : s'il existe p et q, avec 1 ≤ p < q ≤ +∞, tels que L^p ⊂ L^q, alors les mesures des parties non négligeables sont minorées par un même ε > 0[1].
• Dans le cas où l'espace X est un ensemble fini muni de la mesure de comptage, les deux conditions ci-dessus sont satisfaites et tous les espaces L^p sont identifiés à un même espace vectoriel normé de dimension finie.
• À l'inverse, pour la mesure de Lebesgue, qui ne vérifie aucune des deux conditions ci-dessus, il existe des fonctions[2] n'appartenant qu'à un seul L^p.
• Dans tous les cas, ${\displaystyle 1\leq p\leq r\leq q\leq +\infty \Rightarrow \mathrm {L} ^{p}\cap \mathrm {L} ^{q}\subset \mathrm {L} ^{r}}$et pour tout f ∈ L^p∩L^q, sur l'intervalle [p, q], le logarithme de la fonction r ↦ ║f║_r est une fonction convexe de 1/r[3].
• L'inégalité de Tchebychev permet de prouver que pour tout r < ∞ et tout f ∈ L^r, on a[3] :${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\lim _{p\to +\infty }\|f\|_{p}.}$

Pour 1 < p < +∞ et pour toute mesure, L^p est réflexif et son dual topologique s'identifie à l'espace L^q, où q est défini de façon que ¹⁄_p + ¹⁄_q = 1.

Si la mesure est σ-finie, le dual de L¹ est L^∞ et le dual de L^∞ contient strictement L¹ (sauf cas triviaux).

L¹([0, 1]) n'est le dual d'aucun espace, tandis que ℓ¹ est le dual de nombreux espaces, dont celui des suites de limite nulle.

Pour tout p ∈ [1, +∞], les fonctions étagées appartenant à L^p forment un sous-espace dense de L^p.

Pour p < +∞, on en déduit que :

• si la tribu est engendrée par un ensemble dénombrable de parties — en particulier si c'est la tribu borélienne d'un espace à base dénombrable — alors L^p est séparable[6] ;
• si X est un espace séparé localement compact, muni de sa tribu borélienne et d'une mesure quasi-régulière, les fonctions continues à support compact forment un sous-espace dense de L^p[7] ;
• si X est un ouvert de ℝⁿ (muni de la tribu et de la mesure de Lebesgue), le sous-espace des fonctions infiniment dérivables et à support compact est encore dense dans L^p[8].

• Espace L¹_loc
• Espace L2
• Espace de Sobolev
• Espace de Bochner (en)
• Espace de Birnbaum-Orlicz
• Mesure de Radon
• Produit de convolution
• Théorème de représentation de Riesz (Riesz-Markov)
• Théorème de Riesz-Thorin
• Transformée de Fourier

• Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]
• Jacques Faraut, Calcul intégral [détail des éditions]

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