Espace réflexif

Soit ${\displaystyle X}$ un espace vectoriel normé, sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} }$. On note ${\displaystyle X'}$ son dual topologique, c'est-à-dire l'espace (de Banach) des formes linéaires continues de ${\displaystyle X}$ dans le corps de base. On peut alors former le bidual topologique ${\displaystyle X''}$, qui est le dual topologique de ${\displaystyle X}$. Il existe une application linéaire continue naturelle

${\displaystyle J:X\to X''}$

définie par

${\displaystyle J(x)(\phi )=\phi (x)}$, pour tout ${\displaystyle x}$ dans ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle \phi }$ dans ${\displaystyle X'}$ .

Ainsi, ${\displaystyle J}$ envoie ${\displaystyle x}$ vers la forme linéaire continue sur ${\displaystyle X}$ donnée par l'évaluation en ${\displaystyle x}$. Comme conséquence du théorème de Hahn-Banach, ${\displaystyle J}$ préserve la norme (soit encore ${\displaystyle \|J(x)\|=\|x\|}$) et est donc injective. L'espace ${\displaystyle X}$ est alors dit réflexif si ${\displaystyle J}$ est bijective.

Remarques.

• Cette définition implique que tout espace normé réflexif est de Banach, puisque ${\displaystyle X}$ est isomorphe à ${\displaystyle X''}$.
• L'espace de James (de) est non réflexif, bien qu'isométriquement isomorphe à son bidual topologique (par un autre morphisme que ${\displaystyle J}$).

Tout espace vectoriel normé de dimension finie n est réflexif. En effet son dual (qui coïncide avec le dual topologique puisque toute application linéaire est continue) a pour dimension n, qui est donc aussi la dimension du bidual, si bien que l'injection linéaire J est alors bijective.

Tout espace de Hilbert est réflexif, de même que les espaces L^p pour 1 < p < ∞. De manière générale : tout espace de Banach uniformément convexe est réflexif d'après le théorème de Milman-Pettis.

Les espaces de suites c₀, ℓ¹ et ℓ^∞ ne sont pas réflexifs. L'espace C([0, 1]) non plus.

Les espaces de Montel sont réflexifs, pour une définition de la réflexivité généralisant celle présentée ici seulement dans le cas normé.

Si Y est un sous-espace vectoriel fermé d'un espace réflexif X alors Y et X/Y sont réflexifs.

Pour un espace normé X, les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. X est réflexif ;
2. X est complet et son dual est réflexif ;
3. la boule unité fermée de X est faiblement compacte[1] ;
4. toute suite bornée de X admet une sous-suite faiblement convergente[2] ;
5. X est complet et toute forme linéaire continue sur X atteint sa norme en un point de la boule unité de X[3] ;
6. X est complet et tout convexe fermé non vide C de X est « proximinal », c'est-à-dire que pour tout x dans X, il existe dans C au moins un c (non unique en général) tel que ║x – c║ soit égal à la distance de x à C[4].

Un espace réflexif peut être muni d'une norme équivalente qui en fait un espace strictement convexe[5], mais il existe des espaces réflexifs séparables qui ne sont pas super-réflexifs, c'est-à-dire qui ne sont uniformément convexes pour aucune norme équivalente[6].

Un espace réflexif est séparable si et seulement si son dual est séparable[7].

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