Quasi-norme

En mathématiques, une quasi-norme est une application d'un espace vectoriel dans l'ensemble des réels positifs ou nuls. Elle dispose presque des propriétés lui conférant le statut de norme. Une propriété est manquante : l'inégalité triangulaire, qui est remplacée par[1],[2] : il existe une constante K (nécessairement supérieure ou égale à 1[3] si l'espace n'est pas nul — il suffit de prendre y = 0 et x non nul —, et pouvant être choisie ainsi dans ce dernier cas) telle que pour tous vecteurs x et y,

.

Exemple

Les espaces Lp sont munis d'une quasi-norme ║ p, définie pour 0 < p < ∞ par

.

Si p ≥ 1, ║ p est une norme (K = 1) mais si p < 1, c'est seulement une quasi-norme (K = 2(1 – p)/p > 1).

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Quasinorm » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Jesús Bastero, Mario Milman et Francisco J. Ruiz, On the Connection Between Weighted Norm Inequalities, Commutators, and Real Interpolation, AMS, coll. « Memoirs of the American Mathematical Society Series » (no 731), , 80 p. (ISBN 978-0-8218-6453-1, lire en ligne), p. 50.
  2. (en) Yoav Benyamini et Joram Lindenstrauss, Geometric nonlinear functional analysis, vol. 1, AMS, coll. « Colloquium Publications » (no 48), , 488 p. (ISBN 978-0-8218-6963-5, lire en ligne), p. 445.
  3. (en) David E. Edmunds et William D. Evans, Hardy Operators, Function Spaces and Embeddings, Springer, , 326 p. (ISBN 978-3-540-21972-9, lire en ligne), p. 6.

Article connexe

Semi-norme

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