Quasi-norme

En mathématiques, une quasi-norme est une application d'un espace vectoriel dans l'ensemble des réels positifs ou nuls. Elle dispose presque des propriétés lui conférant le statut de norme. Une propriété est manquante : l'inégalité triangulaire, qui est remplacée par[1]^,[2] : il existe une constante $K$ (nécessairement supérieure ou égale à 1[3] si l'espace n'est pas nul — il suffit de prendre y = 0 et x non nul —, et pouvant être choisie ainsi dans ce dernier cas) telle que pour tous vecteurs $x$ et $y$ ,

\|x+y\|\leqslant K(\|x\|+\|y\|)

.

Exemple

Les espaces $L p$ sont munis d'une quasi-norme ║ ║_p, définie pour $0 < p < \infty$ par

\left\|f\right\|_{p}=\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}

.

Si $p \geq 1$ , ║ ║_p est une norme ( $K = 1$ ) mais si $p < 1$ , c'est seulement une quasi-norme ( $K = 2 (1 - p)/ p > 1$ ).

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Quasinorm » (voir la liste des auteurs).

(en) Jesús Bastero, Mario Milman et Francisco J. Ruiz, On the Connection Between Weighted Norm Inequalities, Commutators, and Real Interpolation, AMS, coll. « Memoirs of the American Mathematical Society Series » (n^o 731), 2001, 80 p. (ISBN 978-0-8218-6453-1, lire en ligne), p. 50.
(en) Yoav Benyamini et Joram Lindenstrauss, Geometric nonlinear functional analysis, vol. 1, AMS, coll. « Colloquium Publications » (n^o 48), 2000, 488 p. (ISBN 978-0-8218-6963-5, lire en ligne), p. 445.
(en) David E. Edmunds et William D. Evans, Hardy Operators, Function Spaces and Embeddings, Springer, 2004, 326 p. (ISBN 978-3-540-21972-9, lire en ligne), p. 6.

Article connexe

Semi-norme

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[1] (en) Jesús Bastero, Mario Milman et Francisco J. Ruiz, On the Connection Between Weighted Norm Inequalities, Commutators, and Real Interpolation, AMS, coll. « Memoirs of the American Mathematical Society Series » (n^o 731), 2001, 80 p. (ISBN 978-0-8218-6453-1, lire en ligne), p. 50.

[2] (en) Yoav Benyamini et Joram Lindenstrauss, Geometric nonlinear functional analysis, vol. 1, AMS, coll. « Colloquium Publications » (n^o 48), 2000, 488 p. (ISBN 978-0-8218-6963-5, lire en ligne), p. 445.

[3] (en) David E. Edmunds et William D. Evans, Hardy Operators, Function Spaces and Embeddings, Springer, 2004, 326 p. (ISBN 978-3-540-21972-9, lire en ligne), p. 6.