Connexité par arcs

Si E est un espace topologique et si x et y sont deux points de E, on appelle chemin d'origine x et d'extrémité y toute application continue ${\displaystyle \gamma$ :[0,1]\rightarrow E} telle que ${\displaystyle \gamma (0)=x}$ et ${\displaystyle \gamma (1)=y}$.

On dit que x et y sont reliés s’il existe un chemin d'origine x et d'extrémité y.

La relation « x est relié à y » est une relation d'équivalence sur E, dont les classes d'équivalence sont appelées les composantes connexes par arcs de E.

Dans le cas où l'espace ambiant E est un espace vectoriel normé, on peut préciser la nature des chemins qui relient les points.

• Chemins rectilignes : un chemin est dit rectiligne s'il peut s'écrire ${\displaystyle \gamma (t)=x+t{\vec {u}}}$ pour tout ${\displaystyle t\in [0,1]}$. Le vecteur ${\displaystyle {\vec {u}}}$ est appelé vecteur directeur de ${\displaystyle \gamma }$. Le support du chemin est alors un segment de droite.
• Chemins polygonaux : un chemin est dit polygonal s’il s'écrit comme un composé d'un nombre fini de chemins rectilignes. Par exemple, un trajet dans Manhattan est un chemin polygonal.
• Chemins de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ : un chemin peut être de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ avec ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$. En fait tout chemin est de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}}$ c'est-à-dire continu, mais on peut avoir des niveaux de régularité supérieurs. Un chemin de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ avec ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ^{*}}$ sera dit de plus régulier si ${\displaystyle \gamma '(t)\neq 0}$ pour tout ${\displaystyle t\in [0,1]}$. Un chemin régulier de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ est dit chemin lisse.

Un espace topologique E est dit connexe par arcs si tout couple de points de E est relié par un chemin dont le support est inclus dans E.

Une partie A de E (munie de la topologie induite) est donc connexe par arcs si et seulement si tout couple de points de A est relié par un chemin restant dans A.

Une partie A d'un espace vectoriel normé est dite connexe par arcs polygonaux (respectivement par arcs ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$) si deux points quelconques de A peuvent être reliés par un chemin polygonal (respectivement de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$).

• Dans un espace vectoriel normé, une partie convexe ou étoilée est connexe par arcs.
• Un cercle est connexe par arcs ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ mais pas par arcs polygonaux.
• Un carré est connexe par arcs polygonaux mais pas par arcs ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$.
• Le plan privé d'une partie dénombrable (ou même « seulement » n'ayant pas la puissance du continu) est connexe par arcs polygonaux et par arcs C^{∞[réf. nécessaire]}[1].
• Le groupe spécial orthogonal SO(n, ℝ) et le groupe général linéaire GL(n, ℂ) sont connexes par arcs (pour la topologie induite par une norme sur M_n(ℂ)).
• Le groupe général linéaire GL(n, ℝ) possède deux composantes connexes par arcs.

L'adhérence C du graphe Γ de f est connexe, mais pas connexe par arcs.

Tout espace connexe par arcs est connexe, mais la réciproque est fausse. Voici un contre-exemple classique. On définit une fonction f par

${\displaystyle {\begin{matrix}f:&]0,1]&\to &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &\sin \left({\frac {1}{x}}\right).\end{matrix}}}$

Cette fonction est continue sur ]0, 1]. On note Γ son graphe et C l'adhérence de Γ : ${\displaystyle \Gamma =\{(x,f(x))|x\in ]0,1]\},\quad C={\overline {\Gamma }}=\Gamma \cup \left(\{0\}\times [-1,1]\right).}$

Alors Γ est connexe (comme graphe d'une fonction continue sur un intervalle réel) donc son adhérence C aussi, mais C n'est pas connexe par arcs.

De même, la courbe sinus du topologue Γ ∪ {(0, 0)} est connexe mais pas connexe par arcs.

Cependant :

• dans ℝ, muni de la topologie usuelle, les parties connexes (les intervalles) sont connexes par arcs ;
• plus généralement, tout espace connexe et localement connexe par arcs (par exemple : tout ouvert connexe d'un espace vectoriel normé comme l'espace euclidien) est connexe par arcs.

La connexité par arcs, comme la connexité, est conservée par les applications continues. Si ${\displaystyle f:E\rightarrow F}$ est une application continue entre deux espaces topologiques et si l'espace de départ E est connexe par arcs, alors son image f(E) est connexe par arcs.

On a des résultats similaires pour les types plus spécifiques de connexités par arcs :

• la connexité par arcs polygonaux est conservée par les applications linéaires et par les applications affines ;
• la connexité par arcs ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ est conservée par les ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$-difféomorphismes.

Tout produit d'espaces connexes par arcs est connexe par arcs.

En effet, si x et y sont deux points de ${\displaystyle E=\prod _{i\in I}E_{i}}$ et si les ${\displaystyle E_{i}}$ sont connexes par arcs, il existe pour chaque indice i un chemin ${\displaystyle \gamma _{i}}$ à valeurs dans ${\displaystyle E_{i}}$ tel que : ${\displaystyle \gamma _{i}(0)=x_{i}}$, ${\displaystyle \gamma _{i}(1)=y_{i}}$. Le chemin ${\displaystyle \gamma$ :[0,1]\to E} défini par ${\displaystyle \gamma (t)=(\gamma _{i}(t))_{i\in I}}$ joint alors x à y.