Carré

Un carré noté ABCD avec ses diagonales.

Un carré est une figure plane composée de quatre points appelés sommets et de quatre segments de même longueur, appelés côtés, reliant les sommets dans un ordre cyclique et formant successivement des angles droits orientés dans le même sens. Deux sommets reliés par un côté sont dits consécutifs, sinon ils sont opposés.

Les côtés constituent le bord d’une surface du plan appelée carré plein et qui est l’enveloppe convexe des sommets. Le carré plein privé de son bord est l’intérieur du carré.

Si les sommets du carrés sont nommés A, B, C et D dans cet ordre, le carré est noté ${\displaystyle ABCD}$ et les caractéristiques ci-dessus s’écrivent ${\displaystyle AB=BC=CD=DA}$ et ${\displaystyle {\widehat {ABC}}={\widehat {BCD}}={\widehat {CDA}}={\widehat {DAB}}=90^{\circ }}$.

Les deux segments reliant les sommets opposés sont les diagonales du carré, qui sont perpendiculaires et de même longueur.

Les deux diagonales se croisent en leur milieu qui est appelé centre du carré. Ce point est à la fois l’isobarycentre des sommets et le centre de masse du carré plein.

Le centre du carré est aussi le centre d’un cercle circonscrit passant par les quatre sommets, de diamètre égal à la longueur des diagonales. Il est également le centre d’un cercle inscrit tangent aux quatre côtés en leur milieu respectif, et de diamètre égal au côté du carré.

En notant c la longueur d’un côté, le périmètre du carré s’écrit ${\displaystyle p=4c}$ et son aire vaut ${\displaystyle {\mathcal {A}}=c^{2}}$. Chaque diagonale a pour longueur ${\displaystyle d=c{\sqrt {2}}}$, comme le montre l’application du théorème de Pythagore dans un triangle isocèle rectangle formé par une diagonale et deux côtés du carré. Ce rapport s’illustre aussi par le fait qu’un grand carré, admettant pour côté la diagonale du carré initial, se décompose en quatre triangles isocèles rectangles avec lesquels on peut reconstituer deux carrés de même taille que le carré initial.

Le carré est, parmi les quadrilatères de même périmètre, celui qui possède la plus grande surface. Cette figure est la réponse à la question d'isopérimétrie dans les quadrilatères.

Les transformations isométriques laissant un carré globalement invariant sont :

• les symétries axiales par rapport à une diagonale ou une médiatrice d’un côté ;
• les rotations autour du centre du carré et dont l'angle est un multiple de l'angle droit, et en particulier la symétrie centrale par rapport au centre du carré.

En voici la liste, elles sont au nombre de huit et forment un groupe :

id (identité : chaque point est conservé)	r1 (rotation de 90° vers la droite)	r2 (rotation de 180°)	r3 (rotation de 270° vers la droite)
fv (retournement vertical)	fh (retournement horizontal)	fd (retournement suivant la première diagonale)	fc (retournement suivant la deuxième diagonale)
Les éléments du groupe de symétrie (D4). Les sommets sont colorés et numérotés uniquement pour visualiser les transformations.

Le carré plein est alors engendré par un domaine fondamental triangulaire reliant le centre, le milieu d’un côté et une extrémité de ce côté. Le diagramme de Coxeter-Dynkin correspondant est constitué de deux points représentant les deux axes de symétrie bordant ce triangle (une diagonale et la médiatrice d’un côté), reliés par une arête marquée du chiffre 4 indiquant l’angle entre ces deux axes (45°, soit π/4 radians, un quart d’angle plat). Un cercle autour de l’un des points montre la présence d’un sommet sur l’un des axes (portant la diagonale).

Dessin au compas

On souhaite construire le carré de sommets ABCD connaissant seulement les points A et B. Posons R la distance entre A et B ; alors, on procède comme suit :

• on trace C₁ le cercle de centre A et de rayon R (qui contient alors B)
  ⇒ on a un troisième point du carré sur ce cercle ;
• on trace C₂ le cercle de centre B et de rayon R (qui contient alors A)
  ⇒ le quatrième point du carré, C, se trouve sur ce cercle ;
• Posons G un point d'intersection de C₁ avec C₂ ; on construit alors le point I, symétrique de B par rapport à A :
  • on trace C₃ centré en G et de rayon R ; ce cercle coupe C₁ en B et en un autre point H,
  • C₄, de centre H et de rayon R, coupe C₁ en G et en un nouveau point I ;
• posons S la distance entre G et I ; on construit alors C₅ de centre I et de rayon S (il contient forcément G) ;
• C₆ s'obtient en prenant pour centre B et pour rayon S (il contient forcément H) ; on note J le point d'intersection entre C₆ et C₅ qui est du même côté que G par rapport à la droite (AB) ;
• si T est la distance entre A et J, on construit C₇ le cercle de centre A et de rayon T (il contient forcément J)
  ⇒ Le point C est obtenu par intersection entre C₇ et C₂ ;
• on construit alors C₈ de centre C et de rayon R
  ⇒ l'intersection de C₈ et C₁ est le point D.

Les animations suivantes montrent comment construire un carré à la règle et au compas.

Dans un cercle

Carré avec la longueur des côtés connue		Carré avec la longueur des diagonales connue

Plusieurs caractères Unicode représentent des carrés. On peut synthétiquement les recenser dans le tableau suivant.

Dans le langage LaTeX, les extensions amsfonts et amssymb fournissent la commande \square pour mettre un carré en mode mathématique.

• Carré magique (mathématiques)
• Pseudo-carré
• Carré parfait

Patrice Debart, « Le carré au collège », sur Descartes et les mathématiques

Stella Baruk, « Carré » dans le Dictionnaire des mathématiques élémentaires, Éditions du Seuil, Paris 1995.

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