Espace tangent

L'espace tangent T_xM en un point x ∈ M et un vecteur tangent v ∈ T_xM, le long d'une courbe passant par x.

Supposons que M est une variété différentielle de dimension n et de classe C¹ et que p est un point de M. Soit (U, φ) une carte locale de M en p. Deux courbes γ₁, γ₂ : ]–1, 1[ → M, telles que φ∘γ₁ et φ∘γ₂ soient différentiables en 0, sont dites mutuellement tangentes en p si γ₁(0) = γ₂(0) = p et (φ∘γ₁)'(0) = (φ∘γ₂)'(0). Cette notion ne dépend pas de la carte choisie.

On peut vérifier que la relation ainsi définie est une relation d'équivalence. Une classe d'équivalence V est appelée vecteur tangent à M en p. Dans la carte précédente, le vecteur V est représenté par le vecteur de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ égal à (φ∘γ)'(0), où γ est une courbe quelconque élément de la classe d'équivalence.

L'ensemble des classes est l'espace tangent en p à M, noté T_pM. La fonction γ ↦ (φ∘γ)'(0) induit par passage au quotient une bijection de T_pM dans ℝⁿ qui fait de l'espace tangent un espace vectoriel. La formule du changement de cartes montre que la structure vectorielle ne dépend pas de la carte locale choisie.

Avec les notations précédentes, soit f une fonction de M à valeurs réelles, de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$. Si on dispose d'une carte locale (U, φ) en p telle que (par exemple), φ(p) = 0, alors la fonction ${\displaystyle F=f\circ \varphi ^{-1}}$ est une fonction de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$, définie dans un voisinage de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ contenant 0 et à valeurs réelles. Si on se donne un vecteur ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\cdots ,v_{n})}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, on peut alors calculer la dérivée directionnelle de F selon ${\displaystyle \mathbf {v} }$ :

${\displaystyle D_{\mathbf {v} }F=\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}(0)}$

On vérifie que le résultat ne dépend pas de la carte choisie, mais seulement de la fonction f et de la classe d'équivalence V définie au paragraphe précédent, et pour laquelle on a ${\displaystyle (\varphi \circ \gamma )'(0)=\mathbf {v} }$ dans la carte donnée. On le note ${\displaystyle {\mathbf {V} }\cdot f}$ ou ${\displaystyle \mathrm {d} f({\mathbf {V} })}$. Le vecteur définit ainsi une opération de dérivation sur les fonctions f, égale à ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$ dans la carte précédente. Réciproquement, toute opération de dérivation est de cette forme et définit donc un vecteur. Cette méthode permet d'identifier les vecteurs tangents à M au point p avec les dérivations au point p des fonctions à valeurs réelles.