Fibré tangent

Supposons que ${\displaystyle M}$ soit une sous-variété de classe ${\displaystyle C^{k}}$ (k ≥ 1) et de dimension d de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}$ ; on peut voir alors ${\displaystyle TM}$ comme l'ensemble des couples ${\displaystyle (x,v)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$ formés d'un point ${\displaystyle x\in M}$ et d'un vecteur ${\displaystyle v}$ tangent à ${\displaystyle M}$ en ${\displaystyle x}$. (Passer à ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$ permet de voir les espaces tangents aux différents points comme des ensembles disjoints.)

On obtient ainsi une sous-variété de classe ${\displaystyle C^{k-1}}$ et de dimension 2d de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$. En effet, pour tout point de ${\displaystyle M}$, il existe un ouvert ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ et une submersion ${\displaystyle f:U\mapsto \mathbb {R} ^{n-d}}$ (de classe ${\displaystyle C^{k}}$) tels que ${\displaystyle U\cap M=f^{-1}(0)}$. On en déduit que

${\displaystyle T(U\cap M)=\{(x,v)\in U\times \mathbb {R} ^{n},f(x)=0\ \mathrm {et} \ f^{\prime }(x)\cdot v=0\}}$

Mais l'application ${\displaystyle (x,v)\mapsto {\big (}f(x),f^{\prime }(x)\cdot v{\big )}}$ est une submersion de classe ${\displaystyle C^{k-1}}$ de ${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{n}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2(n-d)}}$

Exemple : Le fibré tangent au cercle ${\displaystyle S^{1}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2},x^{2}+y^{2}=1\}}$ apparaît ainsi comme la sous-variété

${\displaystyle \{(x,y,X,Y)\in \mathbb {R} ^{4},x^{2}+y^{2}=1,xX+yY=0\}}$.

Il est difféomorphe au cylindre ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$ (voir ci-contre).

On définit ${\displaystyle TM}$ en se donnant pour chaque ouvert ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle M}$ une trivialisation locale

${\displaystyle \varphi _{U}\left\{{\begin{matrix}TM&\rightarrow &U\times V\\m&\mapsto &(P_{U}(m),v_{U}(m))\end{matrix}}\right.}$

où ${\displaystyle V}$ est un espace vectoriel isomorphe à l'espace tangent à ${\displaystyle M}$ en n'importe quel ${\displaystyle P\in U}$ et pour chaque ${\displaystyle m\in TM}$, ${\displaystyle v_{U}(m)}$ appartient à l'espace tangent à ${\displaystyle M}$ en ${\displaystyle P_{U}(m)}$ .

Par ailleurs ${\displaystyle \varphi _{U}}$ doit satisfaire à la condition de recollement suivante : Si ${\displaystyle P_{0}=P(m)\in U_{1}\cap U_{2}}$ où ${\displaystyle U_{1}\,}$ et ${\displaystyle U_{2}\,}$ sont des ouverts associés à des cartes ${\displaystyle x_{1}^{\mu }}$ et ${\displaystyle x_{2}^{\mu }}$ alors on doit avoir (en notation de coordonnées pour les vecteurs ${\displaystyle v_{U_{1}}}$ et ${\displaystyle v_{U_{2}}}$)

${\displaystyle v_{U_{2}}^{\mu }(m)=\left.{\frac {\partial x_{2}^{\mu }}{\partial x_{1}^{\nu }}}\right|_{P_{0}}v_{U_{1}}^{\nu }(m)}$

où on a adopté la convention de sommation d'indices répétés d'Einstein.

Fibré cotangent

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