Espace euclidien

Dans le cadre de la construction des vecteurs à l'aide des classes d'équivalence de bipoints sur un espace affine, une première définition du produit scalaire peut être obtenue. La norme d'un vecteur correspond à la longueur d'un bipoint représentatif, l'angle de deux vecteurs correspond à celui de deux bipoints représentatifs de même origine. La formule donnant le produit scalaire est alors :

${\displaystyle \langle {\vec {u}},{\vec {v}}\rangle =\|{\vec {u}}\|\|{\vec {v}}\|\cos({\widehat {{\vec {u}},{\vec {v}}}}).}$

Dans de nombreux cas en physique classique ou en géométrie analytique, si la dimension de l'espace n'est pas trop élevée (typiquement 2 ou 3), cette définition est suffisante. Toutefois, dans le cas général, ce formalisme s'avère à la fois lourd et peu adapté pour, par exemple, l'étude des propriétés topologiques d'un espace euclidien. Une deuxième approche, purement algébrique et plus abstraite, existe, et permet d'établir plus facilement des résultats plus généraux[1].

Le cercle d'Euler est un exemple de propriétés démontrables dans le cadre d'un espace euclidien.

Dans un espace euclidien, on peut définir — outre les distances — les angles, comme des classes d'équivalence de couples de vecteurs unitaires, deux tels couples (a, b) et (x, y) représentant le même angle s'il existe une rotation vectorielle qui envoie a sur x et b sur y.

Si E est de dimension strictement supérieure à 2, l'angle de (x, y) est toujours égal à celui de (y, x). Dans le plan, au contraire, les angles orientés forment un groupe, dans lequel les angles de (x, y) et (y, x) sont symétriques l'un de l'autre, et distincts sauf si y = ±x. On distingue alors une notion moins précise d'angle géométrique, commun à (x, y) et (y, x), et dont la mesure θ est donnée par la formule suivante :

${\displaystyle \theta ={\rm {Arc\ cos}}\left({\frac {{\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}{\|{\vec {x}}\|\|{\vec {y}}\|}}\right).}$

Cette définition permet de formaliser un espace disposant de la même « géométrie du triangle », que celle fondée sur les célèbres postulats décrits les Éléments d'Euclide. Une telle géométrie vérifie les théorèmes de Thalès, de Pythagore, ou d'Al-Kashi.

Un exemple classique est donné par le cercle d'Euler disposant de neuf points remarquables.

Les axiomes d'un espace vectoriel euclidien E concernent deux structures qui se combinent : la première est celle d'espace vectoriel de dimension finie sur le corps ℝ des réels ; la deuxième est la donnée d'une forme bilinéaire appelée « produit scalaire », possédant trois propriétés spécifiques (une forme bilinéaire sur E est une application de E×E dans ℝ, linéaire par rapport à chacune des deux variables).

Dans le cas d'un espace affine, la distance entre deux points a et b est égale à la norme du vecteur d'extrémités a et b. Tout espace euclidien, vectoriel ou affine, est donc muni d'une structure d'espace métrique.

On dit que deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. Le produit scalaire étant défini, il est non dégénéré : le vecteur nul est le seul vecteur orthogonal à lui-même et a fortiori le seul orthogonal à tout l'espace.

• L'espace vectoriel ℝⁿ, muni du produit scalaire canonique et de la norme associée, définis, pour x = (x₁, … , x_n) et y = (y₁, … , y_n), par${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}{\text{ et }}\|x\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}},}$est un espace euclidien appelé espace euclidien canonique[5] de dimension n.
• Sur l'espace vectoriel M_n(ℝ) des matrices carrées d'ordre n, identifié à ℝ⁽ⁿ²⁾, le produit scalaire canonique se réécrit donc en termes de trace et de matrice transposée :${\displaystyle \langle A,B\rangle =\sum _{i,j\in \{1,\ldots ,n\}}A_{ij}B_{ij}={\rm {Tr}}(^{\operatorname {t} }\!A~B).}$La norme associée est appelée « norme de Frobenius ». On retrouvera cette structure euclidienne sous une forme plus abstraite au § « Endomorphisme ».
• L'espace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à n,
  • muni du produit scalaire${\displaystyle \left\langle \sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i},\sum _{i=0}^{n}b_{i}X^{i}\right\rangle =\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{i},}$est un espace euclidien, trivialement isomorphe à l'espace euclidien canonique de dimension n + 1.
  • muni d'un produit scalaire différent :${\displaystyle \langle P,Q\rangle =\int _{0}^{1}P(t)Q(t)\ {\rm {d}}t,}$est aussi un espace euclidien. Ce produit scalaire est celui de l'espace de Hilbert L²([0, 1]) (de dimension infinie), restreint au sous-espace des fonctions polynomiales (identifiées à des polynômes) de degré inférieur ou égal à n.
  • muni du produit scalaire (différent des deux précédents) :${\displaystyle \langle P,Q\rangle =\sum _{i=0}^{n}P(x_{i})Q(x_{i})}$(où x₀, …, x_n sont n + 1 réels distincts) est isomorphe à l'espace euclidien canonique de dimension n + 1, par l'application P ↦ (P(x₀), …, P(x_n)).
• L'espace ℂ des nombres complexes est un plan euclidien, le produit scalaire de deux complexes x et y étant la partie réelle du produit de x par le conjugué de y.
• De manière plus générale, tout espace hermitien de dimension n hérite d'une structure d'espace euclidien de dimension 2n, avec comme produit scalaire la partie réelle du produit scalaire d'origine.

Deux majorations sont largement utilisées dans l'étude des espaces euclidiens.

Inégalité de Cauchy-Schwarz — 

La valeur absolue du produit scalaire de deux vecteurs est majorée par le produit de leurs normes :${\displaystyle \forall x,y\in E\quad |\langle x\,,\,y\rangle |\;\leq \;\|x\|\|y\|.}$

L'égalité n'a lieu que si x et y sont colinéaires.

Inégalité de Minkowski — 

La norme de la somme de deux vecteurs est majorée par la somme de leurs normes :${\displaystyle \forall x,y\in E\quad \|x+y\|\;\leq \;\|x\|+\|y\|.}$

L'égalité n'a lieu que si x et y sont colinéaires et de même sens. Cette majoration correspond au troisième axiome définissant une norme, dit de sous-additivité ou inégalité triangulaire.

Pour toute norme euclidienne ║∙║ sur un ℝ-espace vectoriel E (de dimension finie ou infinie), le carré ║∙║² est une forme quadratique. Sa donnée suffit à reconstituer le produit scalaire dont dérive la norme ║∙║. On dispose pour cela de trois « formules de polarisation » ou « formes polaires ». Ces trois formules fournissent en outre trois critères pour qu'une norme soit euclidienne :

Identités de polarisation —  Une norme ║∙║ sur E est euclidienne si et seulement si l'une des trois applications φ de E×E dans ℝ déduites de ║∙║ par les formules suivantes est bilinéaire. De plus, ces trois applications sont alors égales au produit scalaire dont dérive ║∙║.

${\displaystyle {\begin{matrix}\forall x,y\in E&\varphi (x,y)&=&{\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right),\\\forall x,y\in E&\varphi (x,y)&=&{\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\\\forall x,y\in E&\varphi (x,y)&=&{\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).\end{matrix}}}$

On en déduit immédiatement la caractérisation suivante :

Démonstration

Dans un espace affine de dimension finie n sur ℝ, muni d'un repère cartésien, une hypersurface quadrique est l'ensemble S des points dont les coordonnées (x_i) dans ce repère vérifient une équation du second degré, c'est-à-dire qu'il existe un polynôme Q(X) à n variables et de degré 2 tel que S soit définie par :${\displaystyle X\in S\Leftrightarrow Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0.}$(Tout changement de repère préserve cette propriété.) Dans E vu comme espace affine sur lui-même, les quadriques compactes non dégénérées centrées en 0 sont exactement celles dont l'équation, dans une base B de E bien choisie, est de la forme ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}=1.}$

La première assertion est donc immédiate, ainsi que, dans la réciproque, l'existence du produit scalaire P (il suffit de choisir celui pour lequel la base B est orthonormée). L'unicité de P résulte des identités de polarisation et du fait qu'une norme est entièrement déterminée (par homogénéité) par sa sphère unité.

Il existe un quatrième critère, plus direct, pour déterminer si une norme est euclidienne, sans reconstituer son produit scalaire :

Théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan — Une norme ║∙║ sur E est euclidienne si et seulement si elle vérifie la règle du parallélogramme :${\displaystyle \forall x,y\in E\quad \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}\right).}$.

Dans un espace vectoriel euclidien, une famille de vecteurs est dite orthonormale si ses vecteurs sont unitaires et deux à deux orthogonaux. C'est alors une base dès qu'elle est génératrice, d'après la propriété suivante :

Si E est un espace euclidien de dimension n et B une base orthonormale de E alors, pour tous vecteurs u et v de E, de coordonnées x et y dans B, le produit scalaire 〈u, v〉 est égal au produit scalaire 〈x, y〉 dans l'espace euclidien canonique de dimension n. Autrement dit, la bijection linéaire de E dans ℝⁿ qui associe à tout vecteur ses coordonnées dans B respecte les deux produits scalaires et constitue ainsi un isomorphisme d'espaces euclidiens.

Soient F un sous-espace vectoriel de E et x un vecteur de E. La preuve de l'inégalité de Bessel permet — en admettant provisoirement (cf. section suivante) l'existence de bases orthonormales pour tout espace euclidien — de construire[6] le projeté orthogonal de x sur F, c'est-à-dire le vecteur p(x) de F tel que x – p(x) soit orthogonal à F. On prouve ainsi l'existence d'un tel projeté, et son unicité est garantie par le fait que F et son orthogonal n'ont en commun que le vecteur nul. Par le théorème de Pythagore, la norme de p(x) est inférieure ou égale à celle de x :

Projeté orthogonal et inégalité de Bessel — Soit (f_i) une base orthonormale de F. Pour tout vecteur x de E, le vecteur

${\displaystyle p(x)=\sum \langle x,f_{i}\rangle f_{i}.}$

est le projeté orthogonal de x sur F. Ses coordonnées 〈x, f_i〉 sont appelées coefficients de Fourier, et la somme de leurs carrés est inférieure ou égale au carré de la norme de x.

Le théorème précédent permet, si x n'appartient pas à F, de construire une base orthonormée de F ⊕ ℝx, en adjoignant à celle de F le vecteur non nul x – p(x) divisé par sa norme. On prouve ainsi l'existence de bases orthonormales pour un espace euclidien, par récurrence sur sa dimension. C'est le principe de l'algorithme de Gram-Schmidt, qui en calcule une explicitement, à partir de la donnée préalable d'une base ordinaire :

Soient E, F et p comme ci-dessus. La projection orthogonale p est un projecteur sur F, c'est-à-dire une application linéaire et idempotente d'image F. Son noyau F^⊥ est donc un supplémentaire de F :

On pouvait d'ailleurs le prévoir en remarquant que la codimension de F^⊥ est égale à la dimension de F (dans un espace préhilbertien de dimension infinie, ces arguments ne sont plus disponibles et sont remplacés par le théorème du supplémentaire orthogonal d'un sous-espace complet).

D'après le théorème de Pythagore, p(x) est l'élément de F le plus proche de x. On peut aussi construire p(x) via cette propriété de minimisation de la distance (puis en déduire sa première caractérisation), comme cas particulier du théorème suivant. (Ce théorème s'applique à F qui, comme tout sous-espace vectoriel de E, est fermé et convexe.)

L'application φ de E dans son dual E*, qui à tout vecteur x de E associe la forme linéaire x* définie par :

${\displaystyle \forall y\in E\quad x^{*}(y)=\langle x,y\rangle ,}$

est clairement linéaire, et de noyau nul donc injective. De l'égalité des dimensions de E et de E* il résulte que φ est aussi surjective. On a donc :

Isomorphisme entre un espace euclidien et son dual — Pour tout espace euclidien E, l'application${\displaystyle E\to E^{*},x\mapsto x^{*}:=\langle x,~\rangle }$

est un isomorphisme.

Lorsque E* est muni de la norme duale, cet isomorphisme est même une isométrie (d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz), ce qui prouve que cette norme est euclidienne, c'est-à-dire associée à un produit scalaire : celui importé de E par φ. (L'analogue de ces résultats pour un espace de Hilbert de dimension infinie est le théorème de représentation de Riesz.)

L'isomorphisme φ est très largement utilisé, en mathématiques comme en physique. Par exemple un champ scalaire, c'est-à-dire une application différentiable de E dans ℝ, possède comme différentielle une application de E dans l'ensemble des formes linéaires sur E. L'identification du dual et de E à l'aide de l'isomorphisme φ permet de représenter les formes linéaires sur E par des éléments de E. La différentielle prend alors le nom de gradient. En physique, la force est un élément du dual des vecteurs de l'espace géométrique. Elle est identifiée à un vecteur de l'espace, même si elle n'est pas de même nature. Cette technique permet une représentation plus intuitive ainsi qu'un calcul simple. Le travail de la force, une grandeur importante en physique, s'interprète comme le produit scalaire avec la force.

Pour tout espace vectoriel F, on déduit de φ un isomorphisme canonique a ↦ φ∘a, de L(F, E) dans L(F, E*), lui-même canoniquement isomorphe aux deux espaces de formes bilinéaires L₂(F, E) et L₂(E, F). Pour F = E, on obtient ainsi deux isomorphismes ψ₁ et ψ₂, de L(E) dans L₂(E, E) :

${\displaystyle \forall a\in {\rm {L}}(E)~\forall x,y\in E\quad \psi _{1}(a)(x,y)=\langle a(x),y\rangle {\text{ et }}\psi _{2}(a)(x,y)=\langle x,a(y)\rangle .}$

Sur un espace euclidien E, pour tout endomorphisme a, il existe un unique endomorphisme a* tel que

${\displaystyle \forall x,y\in E\quad \langle x\,,\,a^{*}(y)\rangle \;=\;\langle a(x)\,,\,y\rangle .}$

En effet, cette propriété équivaut à a* = (ψ₂⁻¹∘ψ₁)(a), où ψ₁ et ψ₂ sont les deux isomorphismes ci-dessus.

Cet automorphisme de L(E) est donc la symétrie par rapport au sous-espace des endomorphismes symétriques, par rapport à celui, supplémentaire, des antisymétriques.

La relation induite par le produit scalaire entre les formes bilinéaires et les endomorphismes possède de nombreuses applications, dans des domaines très divers (voir notamment l'article théorème spectral dans le cas où les formes et les endomorphismes sont symétriques).

Tout endomorphisme symétrique ou antisymétrique est normal, c'est-à-dire qu'il commute avec son adjoint.

Une autre famille importante d'endomorphismes normaux est celle des automorphismes orthogonaux, c'est-à-dire inverses de leur adjoint ou encore qui laissent invariant le produit scalaire, autrement dit : qui sont des isométries de E. Ces isométries forment un groupe appelé groupe orthogonal et noté O(E).

Si F est un sous-espace vectoriel d'un espace euclidien, alors la restriction du produit scalaire induit une structure d'espace vectoriel euclidien sur F.

Si E₁ et E₂ sont deux espaces euclidiens, alors leur produit est naturellement muni d'un produit scalaire, défini par

${\displaystyle \forall (a,b),(a',b')\in E_{1}\times E_{2}\quad \langle (a,b)\,,\,(a',b')\rangle \,=\,\langle a\,,\,a'\rangle +\langle b\,,\,b'\rangle .}$

Tout espace vectoriel normé quotient E/F d'un espace euclidien E par un sous-espace vectoriel F est isomorphe au supplémentaire orthogonal F^⊥, par l'isométrie qui à toute classe dans E/F associe son élément de norme minimum : le projeté orthogonal sur F^⊥ commun à tous les éléments de cette classe. La norme sur E/F est donc euclidienne, c'est-à-dire associée à un produit scalaire : celui importé de F^⊥ (sous-espace euclidien de E) par cette isométrie.

Soient E₁ et E₂ deux espaces euclidiens. Le produit tensoriel 〈⋅, ⋅〉₁⊗〈⋅, ⋅〉₂ de leurs produits scalaires respectifs est une forme bilinéaire sur le produit tensoriel E₁⊗E₂, qui s'exprime sur les générateurs canoniques de cet espace vectoriel par :

${\displaystyle \forall x_{1},y_{1}\in E_{1}\;\forall x_{2},y_{2}\in E_{2}\quad \langle x_{1}\otimes x_{2},y_{1}\otimes y_{2}\rangle _{E_{1}\otimes E_{2}}=\langle x_{1},y_{1}\rangle _{1}\langle x_{2},y_{2}\rangle _{2}.}$

Cette forme bilinéaire hérite donc de la symétrie des deux produits scalaires, et si (e_i) est une base orthonormée de E₁ et (f_j) une base orthonormée de E₂ alors la base (e_i⊗f_j) de E₁⊗E₂ est orthonormée pour cette forme, ce qui prouve que c'est un produit scalaire.

Si E₁ et E₂ sont égaux à un même espace euclidien F, la symétrie de E := F⊗F qui les échange est orthogonale pour ce produit scalaire. L'espace L₂(F, F) est canoniquement isomorphe à E* donc hérite d'une structure euclidienne, transportée de celle de E par l'isomorphisme φ.

Pour tout espace euclidien E, l'espace L(E), canoniquement isomorphe à E*⊗E, hérite de même d'un produit scalaire, pour lequel les isomorphismes ψ₁ et ψ₂ sont des isométries.

Ce produit scalaire s'exprime de façon simple grâce aux notions d'adjoint et de trace :

${\displaystyle \forall a,b\in {\rm {L}}(E)\quad \langle a,b\rangle ={\rm {Tr}}(a^{*}b).}$

Lorsque les endomorphismes sont représentés par des matrices dans une base orthonormée fixée, on retrouve ainsi le produit scalaire canonique sur M_n(ℝ).

Pour ce produit scalaire, la symétrie a ↦ a* est un automorphisme orthogonal de L(E).

Le groupe orthogonal O(E) d'un espace euclidien E est naturellement muni d'une structure de groupe topologique et même de groupe de Lie : pour tout espace vectoriel réel V de dimension finie, l'espace L(V) de ses endomorphismes est également de dimension finie donc muni d'une topologie canonique. Le groupe linéaire GL(V) des automorphismes de V, ouvert dans L(V), hérite ainsi d'une structure de groupe de Lie. Si E est un espace euclidien, O(E) est un groupe de Lie compact, comme sous-groupe compact de GL(E).

En effet, E s'identifie dans ce cas à un sous-espace de F, et O(E) au sous-groupe de O(F) constitué des automorphismes qui fixent chaque vecteur de l'orthogonal de E dans F.

Ainsi, tous les espaces euclidiens de dimension n ont le « même » groupe orthogonal que celui, noté O(n), de l'espace euclidien usuel ℝⁿ. Ces groupes sont ipso facto isomorphes en tant que groupes de Lie (c'est-à-dire reliés par un isomorphisme de groupes qui est non seulement un homéomorphisme mais un difféomorphisme).

On peut reformuler l'« unicité » du groupe orthogonal pour chaque dimension en disant que pour tout espace vectoriel V de dimension n et tout sous-groupe G de GL(V), s'il existe sur V un produit scalaire dont G soit le groupe orthogonal, alors G est isomorphe (en tant que groupe topologique) à O(n). La réciproque est vraie :

L'unicité du produit scalaire n'est vraie qu'à homothétie près car si 〈⋅, ⋅〉 est un produit scalaire et si λ est un réel non nul, alors le groupe orthogonal du produit scalaire 〈λ⋅, λ⋅〉 est le même que celui de 〈⋅, ⋅〉.

Son existence est bien plus profonde. L'une des approches possibles pour la démontrer[7] puise son inspiration dans la théorie de la représentation des groupes de Lie. Elle est relativement générique (elle s'applique aux espaces affines euclidiens, aux géométries projectives ou encore symplectiques), mais dépasse le cadre de cet article.

Tout espace vectoriel euclidien est, en tant qu'espace vectoriel normé, un exemple d'espace vectoriel topologique séparé.

Les espaces vectoriels réels de dimension finie n'admettent qu'une telle topologie. Une conséquence est que la norme euclidienne est équivalente à toutes les normes, euclidiennes ou non. La structure topologique d'un espace vectoriel normé de dimension finie E possède de nombreuses propriétés :

• toute application linéaire de E dans un espace vectoriel normé est continue ;
• E est uniformément homéomorphe à ℝⁿ ;
• tout sous-espace vectoriel de E est fermé ;
• E est complet ;
• les compacts de E sont ses fermés bornés (voir théorème de Borel-Lebesgue). Réciproquement, un espace vectoriel normé dans lequel toute boule fermée est compacte est de dimension finie (voir théorème de compacité de Riesz).

• Jean-Marie Monier, Cours de mathématiques : MPSI, PCSI, PTSI et MP, PSI, PC, PT : Algèbre et géométrie MP, t. 8, Paris, Dunod, 2007, 5^e éd., 331 p. (ISBN 978-2-10-051038-2, lire en ligne)
• Jacqueline Lelong-Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès, Cours de mathématiques : Géométrie et cinématique, vol. 3 : Géométrie et cinématique, Dunod, 1977, 733 p. (ISBN 978-2-10-005716-0)
• Edmond Ramis, Claude Deschamps et Jacques Odoux, Cours de mathématiques, vol. 5 : Applications de l'analyse à la géométrie, Dunod, 1998, 2^e éd. (ISBN 978-2-10-004178-7)

• Espaces euclidiens un cours niveau Maths PCSI par S. Gonnord
• Espaces euclidiens sur le site les-mathematiques.net, par C. Antonini et al., 2001
• Espace euclidien de Ross Moore de l'université Macquarie, traduit par Abderemane Morame de l'université de Nantes, 2006.

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