Géométrie analytique

Le terme de géométrie analytique, par opposition à la géométrie synthétique, se réfère aux méthodes d'analyse et synthèse pratiquées par les géomètres grecs. Elle en est progressivement venue à se confondre avec sa méthode privilégiée, la méthode des coordonnées.

Dans les mathématiques grecques, l'analyse consiste à partir de l'objet cherché, en supposant son existence, de manière à établir ses propriétés. Il faut poursuivre dans cette voie jusqu'à produire assez de propriétés pour caractériser l'objet. La situation peut être renversée en ne faisant plus l'hypothèse d'existence et en introduisant effectivement l'objet par le biais des propriétés caractéristiques : c'est la phase de synthèse, qui doit aboutir à la preuve d'existence.

La difficulté pratique qui a limité les progrès des géomètres est le manque d'un formalisme adapté à la description des relations entre grandeurs géométriques. François Viète, à la fin du XVI^e siècle unifie le calcul sur les nombres et le calcul sur les grandeurs géométriques à travers un outil précieux, le calcul littéral. Le principe de la réduction au calcul algébrique est posé, il manque encore une méthode systématique pour l'exploiter.

Marino Ghetaldi, puis René Descartes proposent de résoudre les problèmes de géométrie par le recours systématique au calcul algébrique. Dans sa Géométrie de 1637, Descartes en formule le principe. Il s'agit de représenter grandeurs connues et inconnues par des lettres, et de trouver autant de relations entre grandeurs connues et inconnues qu'il y a d'inconnues au problème. On y reconnaît bien une démarche analytique, conduisant à des systèmes d'équations qu'il s'agit de réduire à une seule équation. Descartes donne des interprétations des cas sur- ou sous-déterminés. Ses manipulations, cependant, se limitent aux équations algébriques, qu'il classe par degré, et ne peuvent être appliquées aux courbes qu'il qualifie de mécaniques (aujourd'hui dites transcendantes).

Pierre de Fermat est le premier à faire, à la même époque, un usage systématique des coordonnées proprement dites pour résoudre les problèmes de lieux géométriques. Descartes fait intervenir notamment les premières équations de droites, paraboles ou hyperboles. Il présente ces idées dans Ad locus planos et solidos isagoge, en 1636, texte publié après sa mort.

Dans les notations de Descartes, contrairement à Fermat, les constantes sont continuellement notées a, b, c, d, ... et les variables x, y, z. Il s'oppose en cela à la tradition de l'époque et un lecteur d'aujourd'hui s'en trouve moins dérouté.

Une droite affine (c'est-à-dire une droite au sens habituel, un ensemble de points) est caractérisée par une équation du premier degré à deux inconnues. C'est-à-dire que tout point M de coordonnées x et y appartient à la droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation :

ax + by + c = 0 (1)

Si c est nul, alors la droite passe par O, l'origine du repère. Si deux droites sont parallèles, alors leurs coefficients a et b sont proportionnels. Si b n'est pas nul, l'équation (1) est équivalente à :

y = a′·x + b′ (2)

a′ = - a/b est appelé le coefficient directeur ou la pente de la droite dans un repère orthonormal, et b′ = - c/b est appelé ordonnée à l'origine (offset ou intercept en anglais) ; deux droites parallèles ont le même coefficient directeur. Avec cette forme là, on voit aisément que la droite passe par le point (0,b′), qui est également appelé ordonnée à l'origine (le terme désigne donc à la fois le point et l'ordonnée de ce point). Si a est nul, on a une droite horizontale

y = b′

passant par le point (0,b′). Si b est nul, on a une droite verticale

x = - c/a

passant par le point (- c/a, 0).

Pour tracer une droite à partir de son équation, il suffit de connaître deux points. Le plus simple est de prendre l'intersection avec les axes, c'est-à-dire de considérer successivement x = 0 et y = 0, sauf si la droite est parallèle à un axe, auquel cas le tracé est trivial. On peut aussi prendre l'ordonnée à l'origine et un point « éloigné » (c'est-à-dire au bord de la figure tracée sur le papier, par exemple considérer x = 10 si l'on va jusqu'à 10), ou encore deux points éloignés (un à chaque bord de la figure) ; en effet, plus les points sont éloignés, plus le tracé de la droite est précis.

Une droite vectorielle (c'est-à-dire un ensemble de vecteurs colinéaires) est représentée simplement par une équation de droite avec c nul :

au₁ + bu₂ = 0

où u₁ et u₂ sont les coordonnées des vecteurs. On en déduit que pour une droite affine ou vectorielle, le vecteur de coordonnées

${\displaystyle {\vec {u}}{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}}$

est un vecteur directeur de la droite. Si le repère est orthonormé, d'après une propriété du produit scalaire, le vecteur

${\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}}$

est un vecteur normal à la droite.

Droite (D) de paramètres polaires (ρ, θ).

Soit une droite (D) ne passant pas par l'origine et appelons H son point qui est le plus proche de l'origine : la droite (OH) est perpendiculaire à (D).

Donc :

• pour une droite donnée, H existe et est unique ; en effet, si deux points distincts sont à une même distance ρ de O, alors ils sont sur un même cercle, le cercle de centre O et de rayon ρ, or la droite (D) est tangente à ce cercle puisqu'elle est perpendiculaire au rayon [OH] ;
• soit un point H quelconque du plan, il ne passe par ce point qu'une seule et unique droite perpendiculaire à (OH).

Ce point H peut être défini par ses paramètres polaires (ρ, θ). Donc, la droite peut être entièrement caractérisée par ces deux paramètres (ρ, θ).

Une droite passant par l'origine peut elle aussi être caractérisée par un couple unique (ρ, θ) avec ρ = 0 et θ l'orientation de la normale à la droite. Donc, chaque droite du plan est caractérisée par un jeu de paramètre polaires unique (ρ, θ) où :

• ρ est la distance de la droite à l'origine du repère,
• θ est l'angle que fait la perpendiculaire à la droite avec l'axe x.

Les coordonnées (x, y) des points de cette droite vérifient l'équation cartésienne :

${\displaystyle \rho =x\cos(\theta )+y\sin(\theta )}$

Cette équation est appelée équation normale de la droite.

Quel que soit le repère, si A(x_A,y_A) est un point de la droite et ${\displaystyle {\vec {u}}}$ un vecteur directeur, alors pour tout point M(x_M,y_M) de la droite, on a

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AM} }}=k\cdot {\vec {u}},\ k\in \mathbb {R} }$

puisque ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AM} }}}$ est colinéaire à ${\displaystyle {\vec {u}}}$. Ceci nous donne une équation paramétrique de la droite :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}(x_{\mathrm {M} }-x_{\mathrm {A} })=k\cdot u_{1}\\(y_{\mathrm {M} }-y_{\mathrm {A} })=k\cdot u_{2}\end{matrix}}\right.}$

qui peut s'écrire

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{\mathrm {M} }=u_{1}\cdot k+x_{\mathrm {A} }\\y_{\mathrm {M} }=u_{2}\cdot k+y_{\mathrm {A} }\end{matrix}}\right.}$ (2)

en éliminant le paramètre k, on retrouve une équation de la forme (1).

Un point est représenté par un système de deux équations du premier degré à deux inconnues :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=a\\y=b\end{matrix}}\right.}$

ce qui est logique puisque, un point étant l'intersection de deux droites non parallèles, ses coordonnées doivent vérifier les équations des deux droites : la réduction de ce système d'équations donne la forme ci-dessus. Ceci est bien évidemment la représentation du point (a, b).

Un demi-plan est représenté par une inéquation du premier degré à deux inconnues :

ax + by + c > 0

si l'on remplace le signe > par un signe =, on obtient l'équation de la droite qui délimite le demi-plan ; si l'on remplace le signe > par le signe < (ou si l'on inverse les signes des coefficients), on obtient le demi-plan complémentaire.

Le plan est rapporté à un repère. Une droite (non verticale) peut être définie par une équation :

y = ax + b.

Si on considère 2 droites définies par les équations y = ax + b et y = a'x + b', on peut savoir s'il y a une intersection ou non grâce à l'un des 3 cas suivant :

• si a = a' et b ≠ b', alors les droites sont parallèles et il n'y a pas d'intersection ;
• si a = a' et b = b', alors les 2 droites sont confondues et il y a donc une infinité de points d'intersection ;
• si a ≠ a', quels que soient b et b', il y a forcément un point d'intersection ; on obtient comme coordonnées du point d'intersection :

${\displaystyle x={\frac {(b'-b)}{(a-a')}}}$ et

${\displaystyle y={\frac {(ab'-a'b)}{(a-a')}}}$.

La démonstration se fait grâce à la résolution d'un système de deux équations à deux inconnues : y = ax + b et y = a'x + b'.

Une demi-droite est caractérisée par une équation et une inéquation :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}ax+by+c=0\\a'x+b'y+c>0\end{matrix}}\right.}$

avec au moins a ≠a′ ou b ≠b′. Une demi-droite est en effet l'intersection d'une droite et d'un demi-plan délimité par une droite non parallèle à la première. La résolution du système obtenu en remplaçant le signe « > » par un signe « = » donne les coordonnées du point extrémité de la demi-droite, c'est-à-dire les coordonnées du point A d'une demi-droite [AB). Si a′ est non nul, on peut se ramener à un système du type :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}ax+by+c=0\\x>d\end{matrix}}\right.\ \mathrm {ou} \ \left\{{\begin{matrix}ax+by+c=0\\x<d\end{matrix}}\right.}$

(les deux systèmes représentant des demi-droites complémentaires), sinon à un système du type :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}ax+by+c=0\\y>d\end{matrix}}\right.\ \mathrm {ou} \ \left\{{\begin{matrix}ax+by+c=0\\y<d\end{matrix}}\right.}$

Avec une équation paramétrique, cela revient à l'équation (2) en rajoutant la condition k > 0 ou k < 0.

Le cercle de centre A et de rayon r est l'ensemble des points situés à une distance r de A. Son équation est donc :

${\displaystyle (x-x_{\mathrm {A} })^{2}+(y-y_{\mathrm {A} })^{2}=r^{2}}$

que l'on peut écrire :

${\displaystyle y=y_{\mathrm {A} }\pm {\sqrt {r^{2}-(x-x_{\mathrm {A} })^{2}}},\ x\in [x_{\mathrm {A} }-r,x_{\mathrm {A} }+r]}$

Cette forme porte le nom « d'équation cartésienne du cercle ». Son équation paramétrique est :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=x_{\mathrm {A} }+r\cdot \cos \theta \\y=y_{\mathrm {A} }+r\cdot \sin \theta \end{matrix}}\right.}$

où θ est un réel, qui peut être pris sur un intervalle de largeur 2π ; on prend en général ]-π, π] ou [0, 2π[. L'équation du disque s'obtient en remplaçant le signe « égal » par un signe « inférieur ou égal ».

Un plan affine (c'est-à-dire un plan au sens habituel en géométrie, composé de points) est représenté par une équation du premier degré à trois inconnues :

ax + by + cz + d = 0 (3)

Si le repère de l'espace est orthonormal, le vecteur

${\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}}$

est un vecteur normal au plan.

Si deux plans sont parallèles entre eux, alors ils ont des vecteurs normaux proportionnels (colinéaires), alors leurs coefficients a, b et c sont proportionnels. Si d est nul, alors le plan passe par l'origine O. Si c est non nul, l'équation peut s'écrire :

z = a′·x + b′·y + c′

avec a′ = - a/c, b′ = - b/c et c′ = - d/c. Si c est nul, alors on a un plan vertical.

Un plan vectoriel (c'est-à-dire un ensemble de vecteurs coplanaires) est représenté par une équation

au₁ + bu₂ + cu₃ = 0

où u₁, u₂ et u₃ sont les composantes d'un vecteur. Les vecteurs suivants sont des vecteurs du plan vectoriel, et si au moins deux coefficients de l'équation du plan sont non nuls, deux de ces vecteurs forment une base du plan :

${\displaystyle {\vec {u}}={\begin{pmatrix}-b\\a\\0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\vec {v}}={\begin{pmatrix}0\\-c\\b\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\vec {w}}={\begin{pmatrix}-c\\0\\a\end{pmatrix}}}$

(la base obtenue n'est a priori pas orthonormée). Ces vecteurs forment aussi des vecteurs d'un plan affine dont l'équation a les mêmes coefficients a, b et c que l'équation du plan vectoriel.

Si deux des coefficients sont nuls, alors l'équation se réduit à l'une des trois formes suivantes :

u₁ = 0, qui représente le plan vectoriel ${\displaystyle ({\vec {j}},{\vec {k}})}$ ;

u₂ = 0, qui représente le plan vectoriel ${\displaystyle ({\vec {i}},{\vec {k}})}$ ;

u₃ = 0, qui représente le plan vectoriel ${\displaystyle ({\vec {i}},{\vec {j}})}$.

De même,

ax + d = 0 représente un plan affine parallèle à ${\displaystyle ({\vec {j}},{\vec {k}})}$, dont l'équation peut s'écrire x = - d/a

by + d = 0 représente un plan affine parallèle à ${\displaystyle ({\vec {i}},{\vec {k}})}$, dont l'équation peut s'écrire y = - d/b

cz + d = 0 représente un plan affine parallèle à ${\displaystyle ({\vec {i}},{\vec {j}})}$, dont l'équation peut s'écrire z = - d/c.

Quel que soit le repère, si le plan passe par un point A(x_A, y_A, z_A) et est muni d'une base quelconque ${\displaystyle ({\vec {u}},{\vec {v}})}$, alors pour tout point M(x_M, y_M, z_M), on a

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AM} }}=k\cdot {\vec {u}}+t\cdot {\vec {v}},\ (k,t)\in \mathbb {R} ^{2}}$

puisque ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AM} }}}$, ${\displaystyle {\vec {u}}}$ et ${\displaystyle {\vec {v}}}$ sont coplanaires. Ceci conduit à l'équation paramétrique

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}(x_{\mathrm {M} }-x_{\mathrm {A} })=k\cdot u_{1}+t\cdot v_{1}\\(y_{\mathrm {M} }-y_{\mathrm {A} })=k\cdot u_{2}+t\cdot v_{2}\\(z_{\mathrm {M} }-z_{\mathrm {A} })=k\cdot u_{3}+t\cdot v_{3}\end{matrix}}\right.\Leftrightarrow \left\{{\begin{matrix}x_{\mathrm {M} }=u_{1}\cdot k+v_{1}\cdot t+x_{\mathrm {A} }\\y_{\mathrm {M} }=u_{2}\cdot k+v_{2}\cdot t+y_{\mathrm {A} }\\z_{\mathrm {M} }=u_{3}\cdot k+v_{3}\cdot t+z_{\mathrm {A} }\end{matrix}}\right.}$ (4)

Une droite étant l'intersection de deux plans non parallèles, elle est décrite par un système de deux équations du premier degré à trois inconnues :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}ax+by+cz+d=0\\a'x+b'y+c'z+d'=0\end{matrix}}\right.}$ (5)

La droite est contenue dans les deux plans, elle est donc orthogonale aux vecteurs normaux ${\displaystyle {\vec {\mathrm {N} _{1}}}}$ et ${\displaystyle {\vec {\mathrm {N} _{2}}}}$ des deux plans. Le produit vectoriel ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {\mathrm {N} _{1}}}\wedge {\vec {\mathrm {N} _{2}}}}$ des vecteurs normaux fournit donc un vecteur directeur de la droite. Si le repère est orthonormé direct, le vecteur ${\displaystyle {\vec {u}}}$ a pour composantes :

${\displaystyle {\vec {u}}={\begin{pmatrix}bc'-b'c\\ca'-c'a\\ab'-a'b\end{pmatrix}}}$

Si par ailleurs on connaît un point A(x_A, y_A, z_A) et un vecteur directeur ${\displaystyle {\vec {u}}}$ de la droite, alors si M(x_M, y_M, z_M) est un point de la droite, il vérifie :

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AM} }}=k\cdot {\vec {u}},\ k\in \mathbb {R} }$

puisque ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AM} }}}$ et ${\displaystyle {\vec {u}}}$ sont colinéaires. On obtient donc l'équation paramétrique :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{\mathrm {M} }=u_{1}\cdot k+x_{\mathrm {A} }\\y_{\mathrm {M} }=u_{2}\cdot k+y_{\mathrm {A} }\\z_{\mathrm {M} }=u_{3}\cdot k+z_{\mathrm {A} }\end{matrix}}\right.}$ (6)

Un point étant l'intersection de trois plans, il est décrit par un système de trois équations du premier degré à trois inconnues :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=a\\y=b\\z=c\end{matrix}}\right.}$

Le point étant l'intersection de trois plans concourants, ses coordonnées doivent vérifier les trois équations ; la réduction de ce système donne la forme ci-dessus. Ce système d'équations représente bien sûr le point (a, b, c).