Théorème de Thalès

Le théorème de Thalès (en dimension 2), dans son sens direct, permet de déduire certaines proportions dès que l'on connaît un certain parallélisme. Le sens direct (et non la réciproque) permet également par contraposée, de démontrer que les droites (ou segments) concernés ne sont pas parallèles quand il n'y a pas l'égalité de certains rapports[1]. Sa réciproque permet de déduire un parallélisme dès que l'on connaît l'égalité de certains rapports.

Réciproque du théorème de Thalès : Dans un triangle ABC, supposons donnés des points D et E appartenant respectivement aux segments [AB] et [AC]. Si les rapports ${\displaystyle {\frac {AD}{AB}}}$ et ${\displaystyle {\frac {AE}{AC}}}$ sont égaux, alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

La démonstration de cette réciproque se déduit du théorème. En effet, considérons un point E' du segment [AC] tel que (DE') soit parallèle à (BC). Alors les points A, E' et C sont alignés dans cet ordre et ${\displaystyle {\frac {AE'}{AC}}={\frac {AD}{AB}}={\frac {AE}{AC}}}$ donc ${\displaystyle AE'=AE}$. Or il n'existe qu'un seul point situé entre A et C vérifiant cette propriété donc E' = E. Par conséquent, (DE) = (DE') est parallèle à (BC).

Le théorème des milieux et sa réciproque sont une spécialisation de la réciproque du théorème de Thalès et du théorème lui-même, pour laquelle les points D et E correspondent aux milieux des segments [AB] et [AC]. Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle, elle est parallèle à la droite qui supporte le troisième côté ; et la longueur joignant les milieux des deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté :

Théorème de la droite des milieux : Soit un triangle ABC, et nommons D et E les milieux respectifs de [AB] et [AC]. Alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles et l'on a : 2DE = BC.

La réciproque du théorème de Thalès garantit que les deux droites sont parallèles ; de plus, le théorème de Thalès s'applique et il vient :

${\displaystyle {\dfrac {DE}{BC}}={\dfrac {AD}{AB}}={\dfrac {1}{2}}}$.

Ce théorème est connu sous le nom de théorème de Thalès dans l'enseignement des mathématiques en France, en Suisse, au Liban, etc.[2].

Aucun texte ancien ne semble attribuer la découverte d'un résultat semblable à Thalès. La première référence où une telle attribution est faite se trouve dans les Éléments de géométrie de Rouché et Comberousse en 1883[3]. Une des causes de cette attribution en France serait une directive ministérielle ayant demandé à une commission d'enseignants de mettre un nom aux théorèmes, et d'inciter les agrégatifs à la fin du XIX^e siècle d'attribuer aux résultats des noms de mathématiciens pour qu'ils s'intéressent à l'histoire des mathématiques[4]. L'expression « Théorème de Thalès » est ainsi d'apparition relativement récente au début du XX^e siècle. Les programmes français de la fin du XX^e siècle restent dans la ligne des « hussards noirs » en mettant également l'accent sur cette dimension historique[4].

C'est aussi sous le nom de « théorème de Thalès » que le résultat est connu dans les pays de la Méditerranée et dans les pays de l'Europe de l’Est ou du Nord. Cependant en Allemagne, ce résultat est connu sous un autre nom (Strahlensatz, théorème des rayons), de même souvent dans les pays de langue anglaise (intercept theorem, théorème d'interception).

L'appellation « théorème de Thalès » désigne dans ces pays la propriété selon laquelle tout angle inscrit dans un demi-cercle est droit[5] (lire Théorème de Thalès (cercle)).

En Suisse, le théorème est principalement abordé au moyen de la « petite propriété de Thalès » telle qu'elle est enseignée en France. Le « théorème de Thalès suisse » exprime par contre le carré de la hauteur dans un triangle rectangle.^{[réf. souhaitée]}

Schéma reproduisant la figure à demi-effacée de la tablette MLC 1950.

La tablette MLC 1950 (datée entre -1900 et -1600)[7] décrit un exercice dans lequel le scribe cherche à calculer les longueurs des bases d'un trapèze rectangle à partir d'informations sur l'aire S du trapèze, sa hauteur et la hauteur du triangle complétant le trapèze. Dans le problème étaient fournies les deux longueurs AD et DB ainsi que l'aire S du trapèze BCED (voir figure jointe). Le scribe calcule :

• la demi-somme des longueurs BC et DE cherchées, comme le rapport de l'aire par la hauteur (d'autres tablettes confirment que la formule donnant l'aire du trapèze était connue[8]) ;
• la demi-différence, par application d'une formule non expliquée, qui s'écrit aujourd'hui littéralement :

${\displaystyle {\dfrac {BC-DE}{2}}={\dfrac {S}{2AD+DB}}}$.

Roger Caratini explique comment obtenir cette formule en appliquant la petite propriété de Thalès aux triangles ABC et ADE d'une part, et aux triangles ABC et CFE d'autre part (où F est le quatrième point du rectangle DBCF). Il déduit de ce raisonnement que le scribe possédait « un certain nombre de connaissances dans le domaine de la géométrie élémentaire, en particulier les théorèmes fondamentaux sur la similitude des triangles » (donc, le théorème de Thalès ou un substitut)[9]. Cependant, le problème est présenté par sa figure sans que les hypothèses soient énoncées.

Démonstration possible de la formule[10]

Si l'on appelle F le point tel que DBCF soit un rectangle, la proportionnalité des triangles ABC , ADE et EFC donne :

${\displaystyle {\frac {BC}{BA}}={\frac {DE}{DA}}={\frac {FC}{FE}}}$,

soit encore :

${\displaystyle {\frac {BC}{BD+DA}}={\frac {DE}{DA}}={\frac {BC-DE}{BD}}}$,

donc

${\displaystyle BC={\frac {BD+DA}{BD}}(BC-DE)\quad DE={\frac {DA}{BD}}(BC-DE)}$

et par somme :

${\displaystyle BC+DE={\frac {BD+2DA}{BD}}(BC-DE)}$.

Par conséquent :

${\displaystyle {\frac {BC-DE}{2}}={\frac {1}{2}}{\frac {(BC+DE)BD}{BD+2DA}}={\frac {S}{BD+2DA}}}$.

Le papyrus Rhind contient un équivalent du théorème de Thalès.

De la civilisation égyptienne, seuls quatre papyrus offrent des résolutions de problèmes mathématiques. Les égyptologues déduisent les connaissances mathématiques de l'Égypte antique indirectement des documents administratifs traitant des crues du Nil, du calcul des impôts, des répartitions de terres cultivables, du dessin des champs après la destruction des repères à la suite des crues[11]… Selon certains, les pyramides de Gizeh démontreraient un savoir géométrique mis au service de l'architecture[12]. Cependant, selon d'autres, l'absence de tables numériques montre un faible intérêt pour les mathématiques en dehors de ses applications^{[réf. nécessaire]}.

Le plus célèbre des quatre papyrus est le papyrus Rhind, du nom d'Alexander Henry Rhind (1833-1863), un antiquaire écossais qui l'achète en 1858. Il aurait été rédigé par le scribe Ahmès sous le pharaon Apophis Âa-ouser-rê (vers -1550), reprenant le contenu d'un papyrus non retrouvé rédigé sous le règne du pharaon Amenemhat II (vers -1850).

Sylvia Couchoud, une égyptologue, étudie[13] ce papyrus avec attention. Outre les informations qu'il fournit sur les connaissances en arithmétique et en algèbre, il offre l'énoncé du théorème de Thalès, appelé seqet, appliqué à un exemple numérique^{[réf. nécessaire]}.

Une édition des Éléments d'Euclide.

La civilisation grecque antique est différente de celle de l'Égypte et de Babylone. La philosophie et la beauté y sont des sujets essentiels. Il n'est donc pas étonnant que les mathématiques grecques n'ont plus pour premier objectif la résolution de problèmes pragmatiques, mais celle de problèmes théoriques[14]. Pythagore établit une géométrie fondée sur des principes, qui deviendront plus tard des axiomes pour accéder à une approche non expérimentale et purement spéculative et intellectuelle[15]. Pour Platon, les mathématiques constituent la base de l'enseignement des Rois-philosophes de la cité idéale[16]. La géométrie prend réellement ses racines dans la civilisation grecque.

Une vision de cette nature modifie radicalement la formulation du théorème de Thalès, dont on trouve la première démonstration écrite connue dans les Éléments d'Euclide[17]. Trois éléments essentiels ont changé. Le théorème est énoncé de manière parfaitement générale, à la différence des Égyptiens qui décrivent ce résultat à l'aide d'un exemple, ou des Babyloniens qui semblent utiliser implicitement le résultat.^{[réf. nécessaire]} Précédemment, les traités de mathématiques se présentaient comme une suite de techniques à même de trouver le bon résultat. La notion de démonstration était absente. Enfin, la réciproque est énoncée, ce qui est aussi une première.^{[réf. nécessaire]}

Le théorème de l'article doit son nom en France à Thalès de Milet.

Certains textes littéraires de l'Antiquité grecque font référence aux travaux de Thalès de Milet au VI^e siècle av. J.-C., dont aucun écrit ne nous est parvenu. Cependant, aucun texte ancien n'attribue la découverte du théorème à Thalès[18]. Dans son commentaire sur les Éléments d'Euclide, Proclus[19] affirme que Thalès aurait rapporté le résultat de son voyage en Égypte. Hérodote rapporte la même chose et précise qu'il est l'un des sept sages fondateurs de cette civilisation[20]. Une anecdote célèbre rapporte que Thalès obtint l'admiration de Pharaon en mesurant la hauteur d'une des pyramides. Plutarque indique que :

« Dressant seulement à plomb un bâton au bout de l’ombre de la pyramide et se faisant deux triangles avec la ligne que fait le rayon du soleil touchant aux deux extrémités, tu montreras qu’il y avait telle proportion de la hauteur de la pyramide à celle du bâton, comme il y a de la longueur de l’ombre de l’un à l’ombre de l’autre[21]. »

Cette légende est reprise par d'autres auteurs. Diogène Laërce écrit :

« Hiéronyme dit que Thalès mesura les pyramides d'après leur ombre, ayant observé le temps où notre propre ombre égale notre hauteur[22]. »

Bernard Vitrac émet de sérieux doutes sur la réalité de ces précisions : « Plus ils sont tardifs, plus ils sont capables de donner des détails sur le procédé utilisé »[14]. Plutarque parle seulement de proportionnalité entre les hauteurs de la pyramide et du bâton, d'une part, et des longueurs de leurs ombres projetées, d'autre part. Laërce évoque l'égalité des côtés adjacents à un angle droit d'un triangle rectangle isocèle. La légende selon laquelle Thalès aurait inventé « son » théorème en voulant calculer la hauteur d'une pyramide est aujourd'hui véhiculée et embellie sur de nombreux sites internet, par de nombreux journaux de vulgarisation et par certains auteurs[23].

Selon Michel Serres, cette histoire était utilisée et transmise dans la civilisation grecque antique comme un moyen mnémotechnique : « Dans une culture de tradition orale, récit tient lieu de schéma, scène vaut intuition, où l'espace vient en aide à la mémoire. [...] Mieux vaut reconnaître, alors, dans le récit, moins une légende originaire que la forme même de la transmission ; il communique un élément de science plus qu'il ne témoigne de son émergence »[24].

Cette histoire atteste aussi de l'origine probable de la géométrie : le calcul des distances et des tailles caractéristiques d'objets inaccessibles (ici la hauteur d'une pyramide) a probablement conduit l'homme à s'interroger sur les relations des distances entre des points de repère. Cette interrogation l'a naturellement conduit à s'intéresser à la trigonométrie, d'où l'émergence de résultats comparables au théorème de Thalès[25]. Par ailleurs, on trouve dans les différentes versions un objet de référence, un axe, un essieu, ou Thalès lui-même, utilisé comme un gnomon, terme signifiant « instrument du savoir, de la compréhension ». Certains voient dans l'origine babylonienne de ce terme une preuve supplémentaire que l'énoncé du théorème et sa démonstration seraient d'origine babylonienne[26].

Une version de la légende de la découverte du résultat par Thalès pourrait être la suivante.

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Lors d'un voyage en Égypte, Thalès aurait visité les pyramides construites plusieurs siècles plus tôt. Admirant ces monuments, il aurait été mis au défi d'en calculer la hauteur. Thalès aurait donc entrepris une mesure des pyramides, dont le principe reposerait sur le concept de triangles semblables et de proportionnalité. Thalès aurait remarqué qu'à cette époque de l'année, à midi, l'ombre portée d'un homme ou d'un bâton égalait la taille de l'homme ou la longueur du bâton. Les rayons de soleil pouvant être supposés parallèles, Thalès en aurait déduit qu'il en serait de même pour la hauteur de la pyramide et son ombre projetée.

Encore fallait-il être capable de mesurer l'ombre projetée : il aurait repéré le sommet de l'ombre projetée de la pyramide, mais pour la mesurer dans son entier, il lui aurait fallu partir du centre de la pyramide qui n'était pas accessible. Thalès aurait bénéficié d'un atout supplémentaire : non seulement l'ombre portée égalait la hauteur de la pyramide, mais les rayons du soleil étaient perpendiculaires à une arête de la base. Le sommet de l'ombre de la pyramide se serait alors trouvé sur la médiatrice d'un côté de la base. Il lui aurait suffi de mesurer la distance séparant l'extrémité de l'ombre et le milieu du côté, d'ajouter à cette longueur un demi-côté pour obtenir la hauteur de la pyramide.

Le fait que le sommet de l'ombre de la pyramide soit sur la médiatrice d'un côté à midi ne tient absolument pas du hasard, mais au fait que les pyramides sont orientées plein sud ou plein ouest. La pyramide de Khéops est située à une latitude de 30°, la longueur de l'ombre égale celle du bâton lorsque le soleil fait 45° avec la verticale. L'angle que forme le soleil avec la verticale varie au cours de l'année entre 6,73° (au plus fort de l'été) et 53,27° (au plus fort de l'hiver) et ne fait un angle de 45° que deux fois dans l'année (le 21 novembre et le 20 janvier). Ce serait un hasard extraordinaire que Thalès se fût trouvé là à cet instant précis. À toute autre période de l'année, la longueur de l'ombre est proportionnelle à la hauteur.

Thalès aurait fait ces remarques. Il serait retourné et aurait expliqué que la hauteur de la pyramide est proportionnelle à la longueur de son ombre. En comparant la longueur de l'ombre et la hauteur d'un bâton planté, il lui aurait été facile de connaître le coefficient de proportionnalité et de l'appliquer ensuite à l'ombre de la pyramide pour en déterminer sa hauteur.

Disposition des points.

Dans l'approche d'Euclide, les points sont des éléments indivisibles à partir desquels les objets géométriques se définissent. Dans cette perspective, les notions de segments et de droites ne sont pas différenciées. La propriété démontrée par Euclide n'est pas exactement le théorème comme il est cité de nos jours. Une traduction datant de 1632 est la suivante :

« Si on meine une ligne droite parallèle à l'un des costez d'un triangle, laquelle couppe les deux autres costés ; elle les couppera proportionnellement : & si les deux costés d'un triangle sont couppez proportionnellement, la ligne coupante sera parallèle à l'autre costé[17].

Si l'on mène une ligne droite parallèle à l'un des côtés d'un triangle, laquelle coupe les deux autres côtés, elle les coupera proportionnellement. Et si les deux côtés d'un triangle sont coupés proportionnellement, la ligne coupante sera parallèle à l'autre côté. »

— Livre VI, Proposition 2

Les données de ce théorème sont donc :

• Un triangle, par définition délimité par trois lignes droites (segments) AB, BC, et CA ;
• Une ligne droite DE parallèle à la ligne droite BC intersectant AB en D et AC en E.

Les notations sont celles introduites par Euclide après l'énoncé ; l'illustration ci-contre donne la disposition des points. La conclusion donnée est :

« AD fera à DB ce que AE est à EC. »

Autrement dit, en écriture mathématique actuelle :

${\displaystyle {\dfrac {BD}{DA}}={\dfrac {CE}{EA}}}$.

La démarche d'Euclide se fonde sur le fait que l'aire d'un triangle est égale à la moitié de la longueur de sa hauteur, par rapport à une base (ou côté) quelconque, multipliée par la longueur de la base en question. Il constate que les hauteurs des triangles DEB et DEC par rapport à leur base commune DE ont la même longueur, du fait que BC est parallèle à DE. Ces deux triangles ont par conséquent la même aire, et a fortiori, ils ont donc le même ratio (d'aires) avec n'importe quelle aire non nulle, et en particulier celle du triangle DEA. Comme les hauteurs des triangles DEB et DEA par rapport, respectivement, aux bases BD et DA, sont confondues (h dans la figure ci-contre), Euclide en déduit que le ratio de DEB par DEA est le même que le ratio de BD par DA. Par analogie, le ratio de DEC par DEA est le même que le ratio de CE par EA. La proposition 11 du livre V énonce que les ratios qui sont les mêmes qu'un autre ratio sont les mêmes. Euclide en déduit donc que le ratio de BD par DA est le même que le ratio de CE par EA.

Le raisonnement proposé par Euclide se traduit aujourd'hui par les égalités suivantes :

${\displaystyle {\dfrac {BD}{DA}}={\dfrac {{\text{Aire}}(DEB)}{{\text{Aire}}(DEA)}}={\dfrac {{\text{Aire}}(DEC)}{{\text{Aire}}(DEA)}}={\dfrac {CE}{EA}}}$.

Les égalités s'appuient sur les constatations suivantes :

• Les triangles DEB et DEA ont une hauteur commune h issue de E. Donc, leur aire est respectivement ½BD×h et ½DA×h ;
• Les triangles DEB et DEC ont une base commune DE, et les sommets opposés B et C sont par hypothèses sur une droite parallèle à (DE) ;
• Enfin, les triangles DEC et DEA ont une hauteur commune h' issue de D. Donc, leur aire est respectivement ½CE×h' et ½EA×h'.

Sous forme de tableau de proportionnalité :

Il faut se poser la question de la validité d'une démonstration vectorielle du théorème de Thalès. En effet, la géométrie vectorielle s'appuie souvent sur une définition géométrique des vecteurs, définition dans laquelle le théorème de Thalès joue un rôle prépondérant quand il s'agit d'affirmer que ${\displaystyle k({\vec {u}}+{\vec {v}})=k{\vec {u}}+k{\vec {v}}}$.

Mais on peut toutefois s'intéresser à une écriture possible du théorème de Thalès et sa justification grâce aux opérations vectorielles, ce qui permet de le généraliser à tout espace affine (associé à un espace vectoriel).

Dire que D est sur (AB) c'est écrire qu'il existe un réel x tel que ${\displaystyle {\overrightarrow {AD}}=x~{\overrightarrow {AB}}}$.

De même, dire que E est sur (AC), c'est écrire qu'il existe un réel y tel que ${\displaystyle {\overrightarrow {AE}}=y~{\overrightarrow {AC}}}$.

Enfin, dire que les droites (ED) et (BC) sont parallèles, c'est écrire qu'il existe un réel t tel que ${\displaystyle {\overrightarrow {DE}}=t~{\overrightarrow {BC}}}$.

Les égalités précédentes et la relation de Chasles permettent d'écrire que : ${\displaystyle {\begin{aligned}x~{\overrightarrow {AB}}+t~{\overrightarrow {BC}}&={\overrightarrow {AD}}+{\overrightarrow {DE}}\\&={\overrightarrow {AE}}\\&=y~{\overrightarrow {AC}}\\&=y~{\overrightarrow {AB}}+y~{\overrightarrow {BC}}.\end{aligned}}}$

L'écriture suivant les vecteurs ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ et ${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}}$ se doit d'être unique car ces vecteurs ne sont pas colinéaires. Donc x = y et t = y.

On obtient donc les trois égalités :

${\displaystyle {\overrightarrow {AD}}=y~{\overrightarrow {AB}},~{\overrightarrow {AE}}=y~{\overrightarrow {AC}}{\text{ et }}{\overrightarrow {DE}}=y~{\overrightarrow {BC}}}$.

L'autre avantage de cet énoncé et de cette démonstration est que cela traite en même temps la seconde configuration illustrée plus haut.

Disposition des points et des droites.

Il s'agit d'une généralisation du théorème précédent dont la première égalité apparait comme le cas particulier où A = A'. Par contre, dans le théorème généralisé, aucune égalité n'est possible entre les rapports des longueurs des segments portés par les droites parallèles (AA'), (BB') et (CC') et les rapports des longueurs des segments portés par les droites (AC) et (A'C'). Le théorème est également généralisé en utilisant des mesures algébriques, ce qui permet de le faire apparaitre comme un théorème de géométrie affine, le rapport de 2 mesures algébriques sur une même droite étant une notion purement affine.

Théorème de Thalès[27] : Soient (d) et (d') deux droites d'un même plan affine.

Énoncé direct : s'il existe trois droites parallèles intersectant (d) et (d') respectivement en A et A', en B et B' et en C et C', alors :

${\displaystyle {{\overline {AB}} \over {\overline {AC}}}={{\overline {A'B'}} \over {\overline {A'C'}}}}$.

Dans un plan, des droites parallèles déterminent sur deux droites quelconques qu'elles rencontrent des segments correspondants proportionnels

ou

si une projection d'une droite sur une autre est une projection parallèle et qu'elle projette repère sur repère, alors les abscisses des points sont conservées.

Cette conclusion équivaut à l'une des deux égalités suivantes :

${\displaystyle {\dfrac {\overline {AB}}{\overline {BC}}}={\dfrac {\overline {A'B'}}{\overline {B'C'}}},\quad {\text{ou}}\quad {\dfrac {\overline {BC}}{\overline {AC}}}={\dfrac {\overline {B'C'}}{\overline {A'C'}}},}$

ou encore à :

${\displaystyle {\dfrac {\overline {A'B'}}{\overline {AB}}}={\dfrac {\overline {B'C'}}{\overline {BC}}}={\dfrac {\overline {A'C'}}{\overline {AC}}}}$.

« Réciproque » : si, pour trois points A, B, C de (d) et trois points A', B', C' de (d'), la première égalité ci-dessus est vérifiée (avec A ≠ C et A' ≠ C'), et s'il existe deux droites parallèles contenant A et A' pour la première et C et C' pour la seconde, alors il existe une troisième droite parallèle aux deux précédentes et contenant B et B'.

Si l'on néglige les mesures algébriques, le premier énoncé donné du théorème de Thalès est la spécialisation du présent second énoncé au cas où deux points sont confondus (par exemple ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle A'}$). En considérant la parallèle à (d') passant par A, le second énoncé se déduit du premier.

On peut démontrer ce théorème à partir de l'axiomatique du plan arguésien dégagée au XX^e siècle[28].

La « réciproque » se déduit de l'énoncé direct en considérant la droite passant par B et parallèle aux deux premières parallèles. Elle coupe (d') en un certain point B'' qui, d'après l'énoncé direct, vérifie

${\displaystyle {{\overline {AB}} \over {\overline {AC}}}={{\overline {A'B''}} \over {\overline {A'C'}}}}$.

Comme la même égalité est vérifiée par hypothèse pour B', les deux points B' et B'' coïncident, donc la troisième parallèle contient bien B et B'.

Relation entre les longueurs des segments par les droites parallèles (AA'), (BB') et (CC') et les longueurs des segments portés par les droites (AC)  :

La relation n'est pas une relation de rapport mais fait intervenir les 5 longueurs :${\displaystyle ({{\overline {AB}}+{\overline {BC}}})\cdot {\overline {BB'}}={{\overline {AB}}\cdot {\overline {CC'}}}+{{\overline {BC}}\cdot {\overline {AA'}}}.}$

Souvent énoncé comme un théorème de géométrie plane, le théorème de Thalès se généralise sans difficulté en dimension supérieure, notamment en dimension 3. L'utilisation de droites parallèles est remplacée par des hyperplans parallèles ; les droites (d) et (d') n'ont pas à être supposées coplanaires.

Théorème de Thalès. Soient (d) et (d') deux droites d'un même espace affine.

Énoncé direct[29] : s'il existe trois hyperplans parallèles intersectant (d) et (d') respectivement en A et A', en B et B'et en C et C', alors :

${\displaystyle {{\overline {AB}} \over {\overline {AC}}}={{\overline {A'B'}} \over {\overline {A'C'}}}}$.

Dans un espace à trois dimensions, des plans parallèles déterminent sur des droites quelconques les traversant des segments correspondants proportionnels.

« Réciproque[27] » : si (d) et (d') sont non coplanaires et si trois points A, B, C de (d) et trois points A', B', C' de (d') (avec A ≠ C et A' ≠ C') vérifient l'égalité ci-dessus, alors il existe trois plans parallèles intersectant (d) et (d') respectivement en A et A', en B et B' et en C et C'.

L'énoncé direct dans le cas général où (d) et (d') ne sont pas nécessairement coplanaires peut se déduire du théorème de Thalès dans le plan en faisant intervenir une troisième droite, coplanaire à chacune des deux.

La « réciproque » se déduit de l'énoncé direct en se plaçant dans le sous-espace de dimension 3 engendré par (d) et (d') et en prenant deux plans parallèles dont l'un contient A et A' et l'autre C et C', puis en raisonnant comme en dimension 2 ci-dessus, mais en remplaçant « droites parallèles » par « plans parallèles ».

On peut démontrer directement cet énoncé en dimension quelconque[30] à l'aide des notions modernes d'espaces affine et vectoriel et d'application affine. Soient p la projection affine sur (d') parallèlement aux trois hyperplans, qui envoie A, B, C respectivement sur A', B', C', et ${\displaystyle {\vec {p}}}$ la projection vectorielle associée. Si l'on note x = AB/AC et y = A'B'/A'C', alors

${\displaystyle {\vec {p}}({\overrightarrow {AB}})={\begin{cases}{\vec {p}}(x~{\overrightarrow {AC}})=x~{\vec {p}}({\overrightarrow {AC}})=x~{\overrightarrow {p(A)p(C)}}=x~{\overrightarrow {A'C'}}\\{\overrightarrow {p(A)p(B)}}={\overrightarrow {A'B'}}=y~{\overrightarrow {A'C'}}\end{cases}}\quad {\text{donc}}\quad x=y}$.

Le birapport est un invariant projectif associé à quatre points. Le théorème de conservation des birapports par projection est lié de près au théorème de Thalès, l'un pouvant se déduire de l'autre[31].

De même que les trois droites parallèles du théorème de Thalès peuvent être remplacées par des hyperplans parallèles dans un espace affine de dimension supérieure à 2, les quatre droites concourantes de ce théorème de conservation des birapports peuvent être remplacées par des hyperplans appartenant à un même faisceau en dimension supérieure.

L'intérêt de ce point de vue est de souligner l'analogie du « rapport » ${\displaystyle {\overline {AB}} \over {\overline {AC}}}$ intervenant dans le théorème de Thalès avec le birapport utilisé en géométrie projective : le premier est laissé invariant par une transformation affine d'une droite affine vers une autre exactement comme le second est laissé invariant par une transformation projective d'une droite projective vers une autre.

Le théorème de Thalès offre des égalités entre diverses fractions. Si les segments et les triangles appartiennent à la branche mathématique appelée géométrie, les fractions font partie de l'algèbre. Le fait que le théorème offre des égalités sur les fractions en fait une méthode de démonstration qui s'applique à l'algèbre. Il est possible d'établir toutes les lois régissant le comportement des fractions et, par là, les mécanismes qui permettent de résoudre toutes les équations du premier degré. Cette démarche est décrite dans l'article Algèbre géométrique.

En géométrie, le théorème de Thalès ou sa réciproque peuvent être utilisés pour établir des conditions d'alignement ou de parallélisme. Sans faire appel aux notions de droite projective, ils permettent d'obtenir des versions satisfaisantes des résultats relevant en réalité de la géométrie projective. Le théorème de Thalès peut être utilisé comme substitut des homothéties dans les démonstrations.

• Théorème de Ménélaüs : Étant donnés un triangle ABC et trois points A', B' et C' appartenant respectivement aux droites (BC), (AC) et (AB) ; les points A', B' et C' sont alignés si et seulement si :${\displaystyle {\dfrac {\overline {A'C}}{\overline {A'B}}}\cdot {\dfrac {\overline {B'A}}{\overline {B'C}}}{\dfrac {\overline {C'B}}{\overline {C'A}}}=1}$.
• Théorème de Ceva : Étant donnés un triangle ABC et trois points A', B' et C' appartenant respectivement aux droites (BC), (AC) et (AB) ; les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes ou parallèles si et seulement si :${\displaystyle {\dfrac {\overline {A'C}}{\overline {A'B}}}{\dfrac {\overline {B'A}}{\overline {B'C}}}{\dfrac {\overline {C'B}}{\overline {C'A}}}=-1}$.
• Théorème de Pappus : Soient deux droites d et d' ; trois points A, B et C de d ; trois points A', B', et C' de d'. On note P, Q et R les intersections respectives de (AB') et (A'B), de (B'C) et (BC'), et de (AC') et (A'C). Alors les points P, Q et R sont alignés.
• Théorème de Desargues : Soient deux triangles ABC et A'B'C' tels que les droites (AB) et (A'B') sont parallèles, de même pour (BC) et (B'C') et pour (AC) et (A'C'). Alors les droites (AA'), (BB') et (CC') sont parallèles ou concourantes.

Construction géométrique du produit.

Une question soulevée durant l'Antiquité, et notamment sous la forme du problème de la quadrature du cercle, est la possibilité de construire une figure à l'aide de la règle (non graduée) et du compas :

• la règle est un instrument idéalisé permettant de considérer une droite passant par deux points déjà tracés ;
• le compas est un instrument idéalisé permettant de considérer un cercle ayant pour centre un point déjà construit et pour rayon le report d'une distance réalisée entre deux points déjà construits.

Un point du plan euclidien est dit constructible à la règle et au compas s'il peut être obtenu par un nombre fini d'étapes à partir des points de coordonnées (0,0) et (0,1). À la suite des travaux de Georg Cantor, il peut être affirmé que tous les points constructibles à la règle et au compas sont en nombre dénombrable.^{[réf. nécessaire]}

Un nombre constructible est un nombre réel qui peut être obtenu comme coordonnée d'un point constructible. L'ensemble des nombres constructibles est stable par somme, produit et inverse, et forme donc un sous-corps des nombres réels. Le théorème de Thalès montre que le produit de deux nombres constructibles est un nombre constructible. En effet, pour deux réels non nuls constructibles x et y, un calcul donne la justification de la construction ci-contre :

Si la ligne de vue entre deux navires (N₁N₂) est d'orientation constante, la situation mène à une collision.

Considérons deux navires voguant à vitesse constante et en ligne droite, par exemple un voilier naviguant à 5 nœuds et un porte-conteneurs naviguant à 20 nœuds. Le voilier surveille le porte-conteneurs : s'il l'observe toujours dans la même direction, et qu'il le voit se rapprocher, alors la collision est certaine.

En effet, comme le voilier voit le porte-conteneur se rapprocher, les deux trajectoires sont des droites sécantes. Soit C leur point d'intersection. Le voilier a une vitesse v₁ et se situe au temps t dans la position N₁(t), le porte-conteneur a une vitesse v₂ et se situe au temps t dans la position N₂(t). Le voilier observe toujours le porte-conteneur dans la même direction signifie que les droites (N₁(t)N₂(t)) sont toutes parallèles entre elles. La distance parcourue entre deux temps t et t', t < t' est N(t')N(t) = v× (t'−t), et donc N₂(t)N₂(t')/N₁(t)N₁(t') = v₂/v₁ = k (k = 4 pour l'exemple choisi). D'après le théorème de Thalès, N₂(t)C/N₁(t)C = k. Les deux navires atteignent donc en même temps le point C, d'où la collision.

Ainsi, si un navigateur voit un navire toujours dans la même direction, il sait qu'il doit entreprendre une manœuvre d'évitement. Si en revanche il voit l'autre navire se décaler vers la gauche ou vers la droite par rapport à sa ligne de visée, il sait qu'il est en sécurité.

On peut également voir le problème sous l'angle de la cinématique : si le navire N₂ est toujours observé de N₁ dans la même direction, cela signifie que sa vitesse relative est un vecteur dont le support est la droite (N₁N₂). Dans le référentiel lié à N₁, le navire N₂ a un mouvement rectiligne uniforme passant par N₁, d'où la collision.

Ces notions sont appliquées dans les radars arpa^{[réf. souhaitée]}.