Théorème de Ménélaüs

Soit un triangle ABC, et trois points D, E et F des droites (BC), (AC) et (AB) respectivement, différents des sommets du triangle. Les points D, E et F sont alignés si et seulement si :

${\displaystyle {\frac {\overline {DB}}{\overline {DC}}}\times {\frac {\overline {EC}}{\overline {EA}}}\times {\frac {\overline {FA}}{\overline {FB}}}=1.}$

Une telle droite est appelée une ménélienne — ou une transversale — du triangle ABC.

Remarque : on utilise la mesure algébrique des segments (qui dépend de l'orientation choisie pour la droite support). Par contre, le rapport des mesures algébriques de deux segments portés par une même droite est indépendant de l'orientation que l'on choisit pour cette droite.

Soit A' le point appartenant à la droite (FD) tel que (AA') soit parallèle à (BD). D'après le théorème de Thalès appliqué aux paires de triangles FBD/FAA' et EDC/EA'A, on a respectivement les égalités de rapports de mesures algébriques :

${\displaystyle {\frac {\overline {DB}}{\overline {A'A}}}={\frac {\overline {FB}}{\overline {FA}}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {\overline {A'A}}{\overline {DC}}}={\frac {\overline {EA}}{\overline {EC}}}.}$

On en déduit que

${\displaystyle {\frac {\overline {DB}}{\overline {DC}}}={\frac {\overline {DB}}{\overline {A'A}}}\times {\frac {\overline {A'A}}{\overline {DC}}}={\frac {\overline {FB}}{\overline {FA}}}\times {\frac {\overline {EA}}{\overline {EC}}},}$

ce qui équivaut à

${\displaystyle {\frac {\overline {DB}}{\overline {DC}}}\times {\frac {\overline {EC}}{\overline {EA}}}\times {\frac {\overline {FA}}{\overline {FB}}}=1.}$

Réciproquement, soient D, E, F trois points appartenant respectivement aux côtés (BC), (AC) et (AB) d'un triangle et tels que

${\displaystyle {\frac {\overline {DB}}{\overline {DC}}}\times {\frac {\overline {EC}}{\overline {EA}}}\times {\frac {\overline {FA}}{\overline {FB}}}=1.}$

Supposons d'abord que (EF) et (BC) soient parallèles. En appliquant le théorème de Thalès dans le triangle ABC, on aurait

${\displaystyle {\frac {\overline {EA}}{\overline {EC}}}={\frac {\overline {FA}}{\overline {FB}}}}$

Compte tenu de l'hypothèse, cela implique que ${\displaystyle {\overline {DB}}/{\overline {DC}}=1}$ soit ${\displaystyle {\overline {DB}}={\overline {DC}}}$, donc on aurait B = C ce qui est impossible. On en déduit que (EF) et (BC) sont sécantes et on appelle X leur point d'intersection.

Comme démontré plus haut, on a

${\displaystyle {\frac {\overline {XB}}{\overline {XC}}}\times {\frac {\overline {EC}}{\overline {EA}}}\times {\frac {\overline {FA}}{\overline {FB}}}=1}$

et d'après l'hypothèse, on a donc ${\displaystyle {\overline {DB}}/{\overline {DC}}={\overline {XB}}/{\overline {XC}}}$ ce qui implique X = D. Les points D, E et F sont donc alignés.

Soit E un espace affine de dimension n, et (A₀,...,A_n) une base affine de E. On pose A_n+1 = A₀. Pour ${\displaystyle i\in \lbrace 0..n\rbrace }$, soit ${\displaystyle M_{i}\in (A_{i}A_{i+1})\setminus \lbrace A_{i},A_{i+1}\rbrace }$.

Les points (M₀,...,M_n) sont contenus dans un même hyperplan affine de E si et seulement si ${\displaystyle \prod \limits _{i\in \lbrace 0..n\rbrace }{\frac {\overline {M_{i}A_{i+1}}}{\overline {M_{i}A_{i}}}}=1}$.

• Théorème de Ceva
• Théorème de Carnot (courbe algébrique)

(en) « Online Geometry: Menelaus' Theorem », sur Geometry from the Land of the Incas (en) (démonstration interactive)

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