Projecteur (mathématiques)

En algèbre linéaire, un projecteur (ou une projection) est une application linéaire qu'on peut présenter de deux façons équivalentes :

une projection linéaire associée à une décomposition de E comme somme de deux sous-espaces supplémentaires, c'est-à-dire qu'elle permet d'obtenir un des termes de la décomposition correspondante ;
une application linéaire idempotente : elle vérifie $p 2 = p$ .

Dans un espace hilbertien ou même seulement préhilbertien, une projection pour laquelle les deux supplémentaires sont orthogonaux est appelée projection orthogonale.

Définition de la projection vectorielle

Soient F un sous-espace vectoriel de E et G un supplémentaire de F dans E. N'importe quel vecteur x de E peut s'écrire d'une façon unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G : ${\displaystyle \forall x\in E,\exists$ . La projection sur F parallèlement à G est alors l'application[1] :

{\begin{matrix}p:&E=F\oplus G&\rightarrow E\\&x=x'+x''&\mapsto x'.\end{matrix}}

Propriétés

Définie comme telle, l'application p est un endomorphisme, idempotent ( $p \circ p = p$ ), d'image $im(p) = F$ et de noyau $ker(p) = G$ . Cet endomorphisme est diagonalisable.

Identification des projecteurs et des projections

On définit l'ensemble des projecteurs de E comme les endomorphismes p de E vérifiant $p 2 = p$ . On vient de voir que toute projection est un projecteur. Réciproquement :

Théorème de caractérisation des projecteurs[2] — Tout projecteur de E est une projection, précisément la projection sur $im(p)$ parallèlement à $ker(p)$ , ces deux sous-espaces étant alors supplémentaires.

Projecteur associé à un autre projecteur

La projection sur G parallèlement à F est l'application q = id – p, appelée aussi projecteur « associé » à p.

L'image de q est alors le noyau de p, l'image de p est le noyau de q. Autrement dit : $ker(p) = im(id - p)$ et $im(p) = ker(id - p)$ .

Projecteurs de même image

Deux endomorphismes p et r d'un même espace vectoriel sont des projecteurs de même image si et seulement si p ∘ r = r et r ∘ p = p.

Démonstration

Si p et r sont des projecteurs de même image alors p ∘ r = r (car p vaut l'identité sur Imp, or Imp = Imr) et de même, r ∘ p = p.
Réciproquement, si p ∘ r = r et r ∘ p = p alors p² = p ∘ (r ∘ p) = (p ∘ r) ∘ p = r ∘ p = p et imr = im(p ∘ r) ⊂ imp et de même, r² = r et imp ⊂ imr.

Projecteurs associés à une famille d'espaces supplémentaires

Un espace vectoriel $E$ est somme directe de sous-espaces vectoriels $E_{1},\cdots ,E_{n}$ si et seulement s'il existe une famille de projecteurs $p_{i}:E\to E_{i}$ (pour $i\in \left\{1,\cdots ,n\right\}$ ) vérifiant : $\operatorname {id} _{E}=p_{1}+\cdots +p_{n}$ et $p_{i}\circ p_{j}=0$ si $i \neq j$ .

Symétries

Une symétrie vectorielle est un endomorphisme s tel que s² est l'identité (ne pas confondre avec « Endomorphisme symétrique »).

p est un projecteur si et seulement si 2p – id est une symétrie vectorielle.

La recherche des endomorphismes tels que p² = p, ou que s² = id effectuée ici est un cas particulier simple du traitement de l'équation P(u) = 0 pour P polynôme et u endomorphisme ; voir l'article « Polynôme d'endomorphisme » pour des généralisations.

Projecteurs orthogonaux

Dans un espace quadratique, en particulier dans un espace préhilbertien, un projecteur est un endomorphisme symétrique si et seulement si $\ker(p)=(\operatorname {im} (p))^{\perp }$ . On a alors un projecteur orthogonal, ou une projection orthogonale.

Représentation matricielle en base adaptée

Tout projecteur d'un espace de dimension finie est diagonalisable, avec comme seules valeurs propres 1 et 0 (s'il n'est ni nul, ni l'identité).

En effet, si l'on note ${\mathcal {B}}=(e_{1},\ldots ,e_{r},e_{r+1},\ldots ,e_{n})$ une base de $E$ avec $e_{1},\ldots ,e_{r}$ des vecteurs de $im(p)$ et $e_{r+1},\ldots ,e_{n}$ des vecteurs de $ker(p)$ (ce qui est possible, car l'image et le noyau de $p$ sont supplémentaires), alors la matrice de $p$ dans cette base adaptée s'écrit :

\mathrm {Mat} _{\mathcal {B}}(p)={\begin{pmatrix}\mathbf {I} _{r}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} _{n-r}\end{pmatrix}}.

On a donc les propriétés suivantes :

sur la diagonale apparaissent uniquement des 1 et des 0, et le nombre de 1 est égal au rang du projecteur, ainsi qu'à sa trace ;
les autres coefficients sont nuls.

Notes et références

Jean-Pierre Marco et Laurent Lazzarini, Mathématiques L1 : Cours complet avec 1 000 tests et exercices corrigés, Paris, Pearson, 2012, 1073 p. (ISBN 978-2-7440-7607-7, lire en ligne), p. 451.
La démonstration est courte : voir par exemple « Projecteurs » sur Wikiversité.

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[1] Jean-Pierre Marco et Laurent Lazzarini, Mathématiques L1 : Cours complet avec 1 000 tests et exercices corrigés, Paris, Pearson, 2012, 1073 p. (ISBN 978-2-7440-7607-7, lire en ligne), p. 451.

[2] La démonstration est courte : voir par exemple « Projecteurs » sur Wikiversité.